数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(指数関数、三角関数(正弦、余弦)、加法定理、絶対値、累乗(べき乗))

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題7.を取り組んでみる。

7. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}{e}^{i\left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1+{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)}\\ =\cos \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1+{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)+i\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1+{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)\\ =\left(\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2-\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)+i\left(\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2+\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)\\ =\left(\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1+i\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\right)\left(\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2+i\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)\\ =e^{i{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}{e}^{i{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}\end{array}$

      絶対値が1の複素数について。

      $\begin{array}{}\left|a+bi\right|=1\\ a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ a^2+b^2=1\\ a,b\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\end{array}$

      ここで、 t を

      $\begin{array}{}a=\cos t\\ b=\sin t\end{array}$

      を満たす実数 t とすれ ば、

      $\begin{array}{}a+bi\\ =\cos t+i\sin t\\ =e^{it}\end{array}$
   2. 
      

      任意の複素数を

      $\begin{array}{}z=a+bi\\ a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

      ておく。

      $\begin{array}{}r=\sqrt{a^2+b^2}.\\ \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

      とおけば、

      $\begin{array}{}a+bi\\ =r\left(\frac{a}{r}+\frac{b_i}{r}\right)\\ =r\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ =r{e}^{i\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}{z}_1{z}_2\\ =\left(r_1{e}^{i{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(r_2{e}^{i{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}\right)\\ =r_1{r}_2{e}^{i{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}{e}^{i{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}\\ =r_1{r}_2{e}^{i\left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2+{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\right)}\end{array}$
   4. 
      
      $z=r{e}^{i\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}$

      とおく。

      $w=r^{\frac{1}{n}}{e}^{i\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{n}}$

      とすると、

      $\begin{array}{}{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^n\\ =r{\left(e^{i\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{n}}\right)}^n\\ =r{e}^{i\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{n}·\; <!--\; middle\; dot\; -->n}\\ =r{e}^{i\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\end{array}$

      よって、

      ${\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^n=z$

      となる w が存在する。

      また、

      $\begin{array}{}{e}^{i\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\\ =\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\cos \left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}k\right)+i\sin \left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}k\right)\\ =e^{i\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}k\right)}\\ ={\left(e^{i\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}k}{n}}\right)}^n\\ ={\left(e^{i\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{n}+\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{n}k\right)}\right)}^n\\ k=0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\end{array}$

      よって異なる複素数はちょうど n 個存在する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, exp, solve

print('7.')

theta = symbols('θ', real=True)
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
w = symbols('ω', image=True)

z = exp(I * theta)
eq = w ** n - z
for t in [eq, solve(eq, n)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
 n    ⅈ⋅θ
ω  - ℯ   

⎡   ⎛ ⅈ⋅θ⎞⎤
⎢log⎝ℯ   ⎠⎥
⎢─────────⎥
⎣  log(ω) ⎦

$