2018年12月9日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題7.を取り組んでみる。



    1. e i θ 1 + θ 2 = cos θ 1 + θ 2 + i sin θ 1 + θ 2 = cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 = cos θ 1 + i sin θ 1 cos θ 2 + i sin θ 2 = e i θ 1 e i θ 2

      絶対値が1の複素数について。

      a + b i = 1 a , b a 2 + b 2 = 1 a , b 1

      ここで、 t を

      a = cos t b = sin t

      を満たす実数 t とすれ ば、

      a + b i = cos t + i sin t = e i t

    2. 任意の複素数を

      z = a + b i a , b

      ておく。

      r = a 2 + b 2 . cos θ = a a 2 + b 2 sin θ = b a 2 + b 2

      とおけば、

      a + b i = r a r + b i r = r cos θ + i sin θ = r e i θ

    3. z 1 z 2 = r 1 e i θ 1 · r 2 e i θ 2 = r 1 r 2 e i θ 1 e i θ 2 = r 1 r 2 e i θ 2 + θ 2

    4. z = r e i θ

      とおく。

      w = r 1 n e i θ n

      とすると、

      ω n = r e i θ n n = r e i θ n · n = r e i θ

      よって、

      ω n = z

      となる w が存在する。

      また、

      e i θ = cos θ + i sin θ = cos θ + 2 π k + i sin θ + 2 π k = e i θ + 2 π k = e i θ + 2 π k n n = e i θ n + 2 π n k n k = 0 , , n - 1

      よって異なる複素数はちょうど n 個存在する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, exp, solve

print('7.')

theta = symbols('θ', real=True)
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
w = symbols('ω', image=True)

z = exp(I * theta)
eq = w ** n - z
for t in [eq, solve(eq, n)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
 n    ⅈ⋅θ
ω  - ℯ   

⎡   ⎛ ⅈ⋅θ⎞⎤
⎢log⎝ℯ   ⎠⎥
⎢─────────⎥
⎣  log(ω) ⎦

$

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