数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(積の絶対値と絶対値の積)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   2つの複素数を

   $\begin{array}{}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a+bi\\ \mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=c+di\\ a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

   とおき、絶対値を求める。

   $\begin{array}{}\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ =\left|\left(a+bi\right)\left(c+di\right)\right|\\ =\left|\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i\right|\\ =\sqrt{{\left(ac-bd\right)}^2+{\left(ad-bc\right)}^2}\\ =\sqrt{a^2{c}^2-2abcd+b^2{d}^2+a^2{d}^2+2abcd+b^2{c}^2}\\ =\sqrt{a^2{c}^2+b^2{d}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2}\\ \left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ =\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}\\ =\sqrt{a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2}\end{array}$

   よって、

   $\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|=\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|$

   が成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I

print('5.')

a, b = symbols('a, b', imag=True)

l = abs(a * b)
r = abs(a) * abs(b)

for t in [l, r, l == r, l.simplify() == r.simplify(), l.expand() == r.expand()]:
    pprint(t)
    print()

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', real=True)

alpha = a + b * I
beta = c + d * I

l = abs(alpha * beta)
r = abs(alpha) * abs(beta)

for t in [l, r, l == r]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
5.
│a⋅b│

│a│⋅│b│

False

False

False

   _________    _________
  ╱  2    2    ╱  2    2 
╲╱  a  + b  ⋅╲╱  c  + d  

   _________    _________
  ╱  2    2    ╱  2    2 
╲╱  a  + b  ⋅╲╱  c  + d  

True

$