数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(絶対値、共役複素数、共役複素数の共役複素数、除法)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   a、 b を

   $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a+bi$

   となる実数とする。

   このとき、絶対値を求める複素数はそれぞれ、

   $\begin{array}{}\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\\ =\frac{a+bi}{a-bi}\\ =\frac{{\left(a+bi\right)}^2}{a^2+b^2}\\ =\frac{a^2-b^2+2abi}{a^2+b^2}\\ =\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2ab}{a^2+b^2}i\\ \stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ =\stackrel{-}{a-bi}\\ =a+bi\end{array}$

   よって、求める絶対値はそれぞれ、

   $\begin{array}{}\left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\right|\\ =\sqrt{{\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)}^2+{\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)}^2}\\ =\frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^4+b^4-2a^2{b}^2+4a^2{b}^2}\\ =\frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2+2a^2{b}^2}\\ =\frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{{\left(a^2+b^2\right)}^2}\\ =\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\\ =1\\ \left|\stackrel{-}{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\right|\\ =\sqrt{a^2+b^2}\\ =\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('3.')
a = symbols('a', nonzero=True)

for b in [abs(a / a.conjugate()) == 1,
          abs(a.conjugate().conjugate()) == abs(a)]:
    pprint(b)

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
True
True
$