数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 重積分の変数変換 - 広義の積分(n次元空間、空間極座標、三角関数(正弦と余弦)、逆数、累乗(べき乗)、収束、発散、n次元への拡張)

解析入門(下)
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.3(広義の積分)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   極座標。

   $\begin{array}{}{x}_1=r\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{\left(n-2\right)}\right)\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ x_2=r\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{\left(n-2\right)}\right)\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ x_3=r\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{\left(n-3\right)}\right)\cos \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{n-2}\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_{n-1}=r\sin {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2\\ x_n=r\cos {\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\end{array}$

   ヤコビ行列式の値。

   $r^{n-1}{\sin }^{n-2}\left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->{\sin }^2\left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{n-3}\right)\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{n-2}\right)$

   r が1以下のときの積分について。

   $\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\sin }^{n-2}\left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\right)d{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \left({\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{n-2}\right)d{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_{n-2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{r^{n-1}}{r^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}dr$

   この積分の収束、発散は積分

   $\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{r}^{n-1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}dr$

   の収束、発散と一致する。

   $\begin{array}{}n-1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}>-1\\ 0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<n\end{array}$

   のとき収束、

   $\begin{array}{}n-1-a\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-1\\ n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

   のとき 発散する。

   r が1以上のとき も同様に考えて、

   $\begin{array}{}n-1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<-1\\ n<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

   のとき収束、

   $\begin{array}{}n-1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->-1\\ 0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\end{array}$

   のとき発散する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, oo, Rational, plot

print('2.')

x = symbols('x')
a = symbols('a')
f = 1 / x ** a
I1 = Integral(f, (x, 0, 1))
I2 = Integral(f, (x, 1, oo))
for a0 in [Rational(1, 2), 1, Rational(3, 2)]:
    for I in [I1, I2]:
        I0 = I.subs({a: a0})
        for t in [I0, I0.doit()]:
            pprint(t)
            print()
        print()

p = plot(*[f.subs({a: a0}) for a0 in [Rational(1, 2), 1, Rational(3, 2)]],
         (x, 0, 10), ylim=(0, 10), legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample2.png')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
1      
⌠      
⎮ 1    
⎮ ── dx
⎮ √x   
⌡      
0      

2


∞      
⌠      
⎮ 1    
⎮ ── dx
⎮ √x   
⌡      
1      

∞


1     
⌠     
⎮ 1   
⎮ ─ dx
⎮ x   
⌡     
0     

∞


∞     
⌠     
⎮ 1   
⎮ ─ dx
⎮ x   
⌡     
1     

∞


1        
⌠        
⎮  1     
⎮ ──── dx
⎮  3/2   
⎮ x      
⌡        
0        

∞


∞        
⌠        
⎮  1     
⎮ ──── dx
⎮  3/2   
⎮ x      
⌡        
1        

2


$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="1">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-2.5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="2.5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-2.5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="2.5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample2.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let fns = [[x => 1 / x, 'red'],
           [x => 1 / Math.sqrt(x), 'green'],
           [x => 1 / Math.sqrt(x ** 3), 'blue']];

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);
            
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }
    
    let points = [],
        lines = [[1, y1, 1, y2, 'brown']];
    
    fns
        .forEach((o) => {
            let [fn, color] = o;
            
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = fn(x);
                
                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);

    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);
    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =