数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 広義の積分(球体の外側、空間極座標、数列、極限、逆数、累乗(べき乗)、収束、発散、3次元への拡張)

解析入門(下)
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.3(広義の積分)、問題1-(b).を取り組んでみる。

1. 
   
   2. 
      

      空間極座標に変換して考える。

      $\begin{array}{}1<p_n<\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{p}_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ {\left(p_n\right)}_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}\end{array}$

      を満たす数列 を考える。

      $1\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->p_n$

      を満たす範囲で考える。

      $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^{p_n}\frac{r^2}{r^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}drd\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\\ =\underset{1}{\overset{p_n}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{r}^{2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}dr\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\end{array}$

      この積分について、

      $0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<3$

      の場合。

      $\begin{array}{}\frac{1}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\left[r^{\left(3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)}\right]}_1^{\left(p_n\right)}{\left[-\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\left[\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =\frac{1}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left(p_n^{\left(3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)}-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left({\left(p_n\right)}^{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-1\right)\end{array}$

      よって、

      $p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

      のとき発散する。

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=3$

      の場合。

      $\begin{array}{}{\left[\log r\right]}_1^{\left(p_n\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left(\log \left(p_n\right)-\log 1\right)\\ =4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\log p_n\\ \underset{p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\log p_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

      よって発散する。

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}>3$

      の場合、

      $\begin{array}{}\underset{p_n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left(p_n^{\left(3-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)}-1\right)\\ =\frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-3}\end{array}$

      よって収束する。

      ゆえに、 問題の積分は

      $0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3$

      のとき発散し、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}>3$

      ならば収束する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Limit, log, oo

print('1-(b).')

r, theta, phi, p = symbols('r, θ, φ, p')
alpha = symbols('α', positive=True)
I = Integral(Integral(Integral(r ** 2 * sin(theta) / r ** alpha, (r, 1, p)),
                      (theta, 0, pi)),
             (phi, 0, 2 * pi))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

l1 = Limit(4 * pi / (3 - alpha) * (p ** (3 - alpha) - 1), p, oo)
l2 = Limit(-4 * pi * log(p), p, oo)
for l in [l1, l2]:
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

for alpha0 in [1, 2, 4, 5]:
    print(f'α = {alpha0}')
    l = l1.subs({alpha: alpha0})
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1-(b).
2⋅π π p                        
 ⌠  ⌠ ⌠                        
 ⎮  ⎮ ⎮  -α + 2                
 ⎮  ⎮ ⎮ r      ⋅sin(θ) dr dθ dφ
 ⌡  ⌡ ⌡                        
 0  0 1                        

⎧      -α ⎛ 3    α⎞            
⎪-4⋅π⋅p  ⋅⎝p  - p ⎠            
⎪───────────────────  for α ≠ 3
⎨       α - 3                  
⎪                              
⎪    4⋅π⋅log(p)       otherwise
⎩                              

    ⎛    ⎛ -α + 3    ⎞⎞
    ⎜4⋅π⋅⎝p       - 1⎠⎟
lim ⎜─────────────────⎟
p─→∞⎝      -α + 3     ⎠

       ⎛  1  ⎞
-∞⋅sign⎜─────⎟
       ⎝α - 3⎠


lim (-4⋅π⋅log(p))
p─→∞             

-∞


α = 1
    ⎛    ⎛ 2    ⎞⎞
lim ⎝2⋅π⋅⎝p  - 1⎠⎠
p─→∞              

∞


α = 2
lim (4⋅π⋅(p - 1))
p─→∞             

∞


α = 4
    ⎛     ⎛     1⎞⎞
lim ⎜-4⋅π⋅⎜-1 + ─⎟⎟
p─→∞⎝     ⎝     p⎠⎠

4⋅π


α = 5
    ⎛     ⎛     1 ⎞⎞
lim ⎜-2⋅π⋅⎜-1 + ──⎟⎟
p─→∞⎜     ⎜      2⎟⎟
    ⎝     ⎝     p ⎠⎠

2⋅π


$