2018年12月28日金曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題4.を取り組んでみる。


  1. 2つのベクトルが1次従属とする。

    このとき、

    x a , b + y c , d = 0

    ならば、

    x 0 y 0

    となる x、 y が存在する。

    x が零ではない場合、

    x a + y c , x b + y d = 0 , 0 x a + y c = 0 a = - y c x b = - y d x a d - b c = - y c x d + y d x c = 0

    y が零ではない場合、

    c = - x a y d = - x b y a d - b c = - x b y a + x a y b = 0

    よって、2つのベクトルが一次従属ならば

    a d - b c = 0

    である。

    ゆえに、その対偶を考えれば、

    a d - b c 0

    ならば2つのベクトルは一次独立である。

    a d - b c = 0 a d = b c

    とする。

    x a , b + y c , d = 0 , 0

    を法たす x、 y を考える。

    x a + y c , b x + y d = 0 , 0

    場合分け。

    a = 0

    のとき、

    b = 0 c = 0

    b、 c が共に零の場合、

    0 , dy = 0 , 0

    よって、

    x 0 , y = 0

    のとき成り立つので1次従属。

    b = 0 , c 0

    のとき、

    y c , y d = 0 , 0

    よって

    x 0 , y 0

    のとき成り立つので1次従属。

    b 0 , c = 0

    のとき、

    0 , b x + y d = 0 , 0

    よって

    x = - d , y = b 0

    のとき成り立つので1次従属。

    同様に d が零の場合も1次従属である。

    a 0 , d 0

    の場合。

    b 0 , d 0
    x a + y c = 0 y = - x a c b x - x a c d = 0 b - a d c x = 0 - a d - b c c x = 0 0 x = 0

    よって、

    x 0 y = - x a c

    のとき成り立つので1次従属である。

    ゆえに、

    a d - b c = 0

    ならば、2つのベクトルは1次従属である。

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