数学 - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – ベクトルのノルム(距離、シュバルツの不等式、三角不等式)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、3(ベクトルのノルム)、練習問題11.を取り組んでみる。

11. 
    

    可換なことについて。

    $\begin{array}{}d\left(A,B\right)\\ =∥B-A∥\\ =\sqrt{\left(A-B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(A-B\right)}\\ =\sqrt{\left(-1\right)\left(-1\right)\left(A-B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(A-B\right)}\\ =\sqrt{\left(-1\right)\left(A-B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-1\right)\left(A-B\right)}\\ =\sqrt{\left(-A+B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-A+B\right)}\\ =\sqrt{\left(B-A\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(B-A\right)}\\ =∥B-A∥\\ =d\left(B,A\right)\end{array}$

    3つのベクトルに対して、

    $\begin{array}{}d{\left(A,B\right)}^2\\ ={∥B-A∥}^2\\ =\left(B-A\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(B-A\right)\\ =\left(B-C+C-A\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(B-C+C-A\right)\\ =\left(B-C\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(B-C\right)+\left(B-C\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(C-A\right)+\left(C-A\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(B-C\right)+\left(C-A\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(C-A\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{∥B-C∥}^2+2∥B-C∥∥C-A∥+{∥C-A∥}^2\\ ={\left(∥B-C∥+∥C-A∥\right)}^2\\ ={\left(d\left(B,C\right)+d\left(C,A\right)\right)}^2\\ ={\left(d\left(A,C\right)+d\left(B,C\right)\right)}^2\end{array}$

    よって、三角不等式が成り立つ。

    $d\left(A,B\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->d\left(A,C\right)+d\left(B,C\right)$