2018年11月23日金曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.1(アフィン変換と測度)、問題1.を取り組んでみる。


  1. E、 V をアフィン部分空間、ベクトル部分空間とする。

    E = v + a | v V

    E の任意の元 x、 y に対して

    x = x 0 + a y = y 0 + a α x + β y = α x 0 + a + β y 0 + a = α x 0 + β y 0 + α + β a = α x 0 + β y 0 + a = v 0 + a v 0 V

    よって、

    α x + β y E

    ゆえに、 (a)ならば(b)である。

    α 1 + + α p = 1 α i 1 α 1 x 1 + + α i x i + + α p x p = α 1 x 1 + + α p x p + α i x i = 1 - α i α 1 1 - α i x 1 + + α p 1 - α p x p + α i x i α 1 1 - α i + + α p 1 - α i = α 1 + + α p 1 - α i = 1 - α i 1 - α i = 1 α 1 x 1 + + α p x p = 1 - α i v + α i x i v E

    仮定(b)より、

    1 - α i v + α i x i E α 1 x 1 + + α p x p E

    よって帰納法により、(b)ならは(c)である。

    x 0 E V = x - x 0 | x E u , v V u = x - x 0 v = y - x 0 x , y E a , b a u + b v + x 0 = a x - x 0 + b y - x γ + x 0 = a x + b y + 1 - a - b x 0 a + b + 1 - a - b = 1

    よって(c)より、

    a u + b v + x 0 E

    ゆえに、

    a u + b v V

    なので、 V はベクトル部分空間である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('1.')

x = symbols('x')

V = x
E1 = x + 2
E2 = x - 3
p = plot(V, E1, E2, show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color

p.save('sample1.svg')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
$

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