2018年11月18日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題10.を取り組んでみる。



    1. 直線 L は

      L = P + t A = 1 , 2 , 3 , 4 + t 1 , 1 , 1 , 1 = 1 + t , 2 + t , 3 + t , 4 + t

      Q と X の間の距離。

      X Q = 1 + t - 4 2 + 2 + t - 3 2 + 3 + t - 2 2 + 4 + t - 1 2 = t - 3 2 + t - 1 2 + t + 1 2 + t + 3 2 = 4 t 2 + 20 = 2 t 2 + 5

    2. 距離が最小となるのは、 t が零のときで

      2 5 X 0 = 1 , 2 , 3 , 4

      となり、ただ1つ。


    3. X 0 - Q = 1 , 2 , 3 , 4 - 4 , 3 , 2 , 1 = - 3 , - 1 , 1 , 3 X 0 - Q · A = - 3 , - 1 , 1 , 3 - 1 , 1 , 1 , 1 = - 3 - 1 + 1 + 3 = 0

      よって、直線に垂直である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

P = Matrix(range(1, 5))
Q = Matrix(range(4, 0, -1))
A = Matrix([1 for _ in range(4)])
t = symbols('t', real=True)
L = P + t * A

XQ = (L - Q).norm().simplify()
pprint(XQ)
X0 = L.subs({t: 0})
pprint(X0)

pprint((X0 - Q).dot(A))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
     ________
    ╱  2     
2⋅╲╱  t  + 5 
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎢3⎥
⎢ ⎥
⎣4⎦
0
$

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