数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(垂直なベクトル、スカラー積、距離、方向ベクトル(4次元))

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題10.を取り組んでみる。

10. 
    
    1. 
       

       直線 L は

       $\begin{array}{}L=P+tA\\ =\left(1,2,3,4\right)+t\left(1,1,1,1\right)\\ =\left(1+t,2+t,3+t,4+t\right)\end{array}$

       Q と X の間の距離。

       $\begin{array}{}\left|XQ\right|\\ =\sqrt{{\left(\left(1+t\right)-4\right)}^2+{\left(\left(2+t\right)-3\right)}^2+{\left(\left(3+t\right)-2\right)}^2+{\left(\left(4+t\right)-1\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(t-3\right)}^2+{\left(t-1\right)}^2+{\left(t+1\right)}^2+{\left(t+3\right)}^2}\\ =\sqrt{4t^2+20}\\ =2\sqrt{t^2+5}\end{array}$
    2. 
       

       距離が最小となるのは、 t が零のときで

       $\begin{array}{}2\sqrt{5}\\ X_0=\left(1,2,3,4\right)\end{array}$

       となり、ただ1つ。

    3. 
       
       $\begin{array}{}{X}_0-Q\\ =\left(1,2,3,4\right)-\left(4,3,2,1\right)\\ =\left(-3,-1,1,3\right)\\ \left(X_0-Q\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\\ =\left(-3,-1,1,3\right)-\left(1,1,1,1\right)\\ =-3-1+1+3\\ =0\end{array}$

       よって、直線に垂直である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

P = Matrix(range(1, 5))
Q = Matrix(range(4, 0, -1))
A = Matrix([1 for _ in range(4)])
t = symbols('t', real=True)
L = P + t * A

XQ = (L - Q).norm().simplify()
pprint(XQ)
X0 = L.subs({t: 0})
pprint(X0)

pprint((X0 - Q).dot(A))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
     ________
    ╱  2     
2⋅╲╱  t  + 5 
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎢3⎥
⎢ ⎥
⎣4⎦
0
$