数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(半径rの円周の長さ、極座標)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo)

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo))
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo))
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo))

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、1(曲線の長さ)の練習問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   極座標により考える..

   $\begin{array}{}f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)=r\\ x=f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ y=f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}$

   求める半径 r の円の円周の長さ。

   $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{f{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+f\text{'}\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{r^2+0}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}rd\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\left[r\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}r\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, sqrt, Derivative, pi

θ = symbols('θ')
r = symbols('r', nonnegative=True)

f = r

I = Integral(sqrt(f ** 2 + Derivative(f, θ, 1).doit()), (θ, 0, 2 * pi))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2⋅π     
 ⌠      
 ⎮  r dθ
 ⌡      
 0      

2⋅π⋅r

$