数学 - 集合と位相 - 位相空間 - 位相空間(開核作用子と閉核作用子、位相的双対、Kuratowskiの公理系)

集合・位相入門
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

集合・位相入門(松坂和夫 数学入門シリーズ 1) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、2(位相空間)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   (Ki)より

   $\begin{array}{}{\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}^a=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ {\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}^{ac}={\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}^c\\ {\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}^{ci}=S\\ S^i=S\end{array}$

   (Kii)より、

   $\begin{array}{}{M}^{ca}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->M^c\\ M^{ic}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->M^c\\ M^i\subset \; <!--\; subset\; of\; -->M\end{array}$

   (Kiii)より、

   $\begin{array}{}{\left(M^c\cup \; <!--\; union\; -->N^c\right)}^{ac}={\left(M^{ca}\cup \; <!--\; union\; -->N^{ca}\right)}^c\\ {\left(M^c\cup \; <!--\; union\; -->N^c\right)}^{ci}=M^{cac}\cap \; <!--\; intersection\; -->N^{cac}\\ {\left(M\cap \; <!--\; intersection\; -->N\right)}^i=M^i\cap \; <!--\; intersection\; -->N^i\end{array}$

   (Kiv)より、

   $\begin{array}{}{M}^{caa}=M^{ca}\\ M^{caac}=M^{cac}\\ M^{icac}=M^i\\ M^{ii}=M^i\end{array}$

   よって定理7より S に1つの位相 O を導入して与えられた写像 a が位相空間(S, O)における閉核作用子と一致 するようにすることができる。しかも、そのような位相Oは写像 a に対して一意的に定まる。

   （証明終）