2018年11月10日土曜日

学習環境

解析入門〈6〉 重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(重積分)、23.2(一般の集合の上の積分)、問題2.を取り組んでみる。


  1. 問題の仮定より関数 f は区間 I で積分可能なので、任意の実数

    ε ' > 0

    に対して、区間 I の ある分割

    P = R i j

    が存在して、各 R における f の上限、下限をそれぞれ、

    M i j , m i j

    とすれば、

    U P , f - L P , f = i , i M i j - m i j R i j < ε '

    が成り立つ。

    また、 写像

    f A x

    の各 R における上限、下限をそれでれM'、 m' とする。

    このとき、

    U P , f A - L P , f A = i , j M i j - m i j R i j

    である。
    各 R が A の内部の部分について、

    R i j A o M i j ' - m i j ' R i j = M i j - m i j R i j < ε '

    各 R が A の境界である部分について、

    R i j A f ϕ M = sup f x x I M i j ' - m i j ' R i j 2 M R i j

    各 R が A の外部である部分について、

    R A e M i j ' - m i j ' R i j = 0 - 0 R i j = 0

    よって、

    U P , f A - L P , f A = i , j M i j - m i j R i j < ε ' + 2 M R i j A f = ϕ R i j

    また、問題の仮定より、 A は面積確定なので、

    R i j A f = ϕ R i j < ε ' 2 M

    となるような分割が存在する。

    よって、

    U P , f A - L P , f A < ε ' + ε ' = 2 ε '

    ゆえに、

    ε ' = ε 2

    とおけば、

    U P , f A - L P , f A < ε

    となるので、 関牧

    f A

    は区間 I で積分可能なので、 関数 f は区間 I の任意の面積確定な部分集合 A で積分可能である。

    (証明終)

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