数学 - 解析学 - 重積分 - 一般の集合の上の積分(関数が積分可能な区間の面積確定な部分集合の積分可能性について)

解析入門〈6〉
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解析入門〈6〉 重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(重積分)、23.2(一般の集合の上の積分)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   問題の仮定より関数 f は区間 I で積分可能なので、任意の実数

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}>0$

   に対して、区間 I の ある分割

   $P=\left(R_{ij}\right)$

   が存在して、各 R における f の上限、下限をそれぞれ、

   $M_{ij},m_{ij}$

   とすれば、

   $\begin{array}{}U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)\\ =\underset{i,i}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}\left(M_{ij}-m_{ij}\right)\left|R_{ij}\right|\\ <\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}\end{array}$

   が成り立つ。

   また、 写像

   $f_A\left(x\right)$

   の各 R における上限、下限をそれでれM'、 m' とする。

   このとき、

   $U\left(P,f_A\right)-L\left(P,f_A\right)=\underset{i,j}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}\left(M_{ij}-m_{ij}\right)\left|R_{ij}\right|$

   である。
   各 R が A の内部の部分について、

   $\begin{array}{}{R}_{ij}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^o\\ \sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(M_{ij}\text{'}-m_{ij}\text{'}\right)\left|R_{ij}\right|\\ =\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(M_{ij}-m_{ij}\right)\left|R_{ij}\right|\\ <\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}\end{array}$

   各 R が A の境界である部分について、

   $\begin{array}{}{R}_{ij}\cap \; <!--\; intersection\; -->A^f\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ M=\sup \left|f\left(x\right)\right|\left(x\in \; <!--\; element\; of\; -->I\right)\\ \sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(M_{ij}\text{'}-m_{ij}\text{'}\right)\left|R_{ij}\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2M\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left|R_{ij}\right|\end{array}$

   各 R が A の外部である部分について、

   $\begin{array}{}R\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^e\\ \sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(M_{ij}\text{'}-m_{ij}\text{'}\right)\left|R_{ij}\right|\\ =\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(0-0\right)\left(R_{ij}\right)\\ =0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}U\left(P,f_A\right)-L\left(P,f_A\right)\\ =\underset{i,j}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}\left(M_{ij}-m_{ij}\right)\left|R_{ij}\right|\\ <\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}+2M\underset{R_{ij}\cap \; <!--\; intersection\; -->A^f=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}\left|R_{ij}\right|\end{array}$

   また、問題の仮定より、 A は面積確定なので、

   $\underset{R_{ij}\cap \; <!--\; intersection\; -->A^f=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}\left|R_{ij}\right|<\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}}{2M}$

   となるような分割が存在する。

   よって、

   $U\left(P,f_A\right)-L\left(P,f_A\right)<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}=2\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}$

   ゆえに、

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\text{'}=\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}$

   とおけば、

   $U\left(P,f_A\right)-L\left(P,f_A\right)<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   となるので、 関牧

   $f_A$

   は区間 I で積分可能なので、 関数 f は区間 I の任意の面積確定な部分集合 A で積分可能である。

   （証明終）