数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(位数8の部分群、四元数群とその部分群の決定)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題12.を取り組んでみる。

12. 
    
    • 
      

      表を埋めていきながら考える。

      
    • 
      
      $\begin{array}{}i=jk\\ ji=j^{2}k=mk\end{array}$
    • 
      
      $\begin{array}{}j=ki\\ kj=k^{2}i=mi\end{array}$
    • 
      
      $\begin{array}{}k=ij\\ ik=i^{2}j=mj\end{array}$
    • 
      
      $\begin{array}{}m=i^2\\ im=i^3=mi\end{array}$
    • 
      

      部分群について。

      位数8の部分群。（四元数群自身）

      位数1の部分群。

      $\left\{e\right\}$

      真部分群について。

      
      位数2の部分群。

      $\left\{e,m\right\}=\left\{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\right\}$

      位数3の部分群 はない。

      位数4の部分群。

      $\begin{array}{}\left\{e,i,m,mi\right\}=\left\{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->i\right\}\\ \left\{e,j,m,mj\right\}=\left\{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->j\right\}\\ \left\{e,k,m,mk\right\}=\left\{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->k\right\}\end{array}$

      位数5から7の部分群は存在しない。