数学 - 線型代数 - エルミート双1次形式、内積空間 - 双1次形式、共役双1次形式(和とスカラー倍について)

線型代数入門
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  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

線型代数入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 2) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(エルミート双1次形式、内積空間)、1(双1次形式、共役双1次形式)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   双1次形式について。

   和について。

   $\begin{array}{}\left(f+f\text{'}\right)\left(u+v,w\right)\\ =f\left(u+v,w\right)+f\text{'}\left(u+v,w\right)\\ =f\left(u,w\right)+f\left(v,w\right)+f\text{'}\left(u,w\right)+f\text{'}\left(v,w\right)\\ =f\left(u,w\right)+f\text{'}\left(u,w\right)+f\left(v,w\right)+f\text{'}\left(v,w\right)\\ =\left(f+f\text{'}\right)\left(u,w\right)+\left(f+f\text{'}\right)\left(v,w\right)\\ \left(f+f\text{'}\right)\left(u,v+w\right)\\ =f\left(u,v+w\right)+f\text{'}\left(u,v+w\right)\\ =f\left(u,v\right)+f\left(u,w\right)+f\text{'}\left(u,v\right)+f\text{'}\left(u,w\right)\\ =f\left(u,v\right)+f\text{'}\left(u,v\right)+f\left(u,w\right)+f\text{'}\left(U,w\right)\\ =\left(f+f\text{'}\right)\left(u,v\right)+\left(f+f\text{'}\right)\left(u,w\right)\\ \left(f+f\text{'}\right)\left(cu,v\right)\\ =f\left(cu,v\right)+f\text{'}\left(cu,v\right)\\ =cf\left(u,v\right)+cf\text{'}\left(u,v\right)\\ =c\left(f\left(u,v\right)+f\text{'}\left(u,v\right)\right)\\ =c\left(f+f\text{'}\right)\left(u,v\right)\\ \left(f+f\text{'}\right)\left(u,cv\right)\\ =f\left(u,cv\right)+f\text{'}\left(u,cv\right)\\ =cf\left(u,v\right)+cf\text{'}\left(u,v\right)\\ =c\left(f\left(u,v\right)+f\text{'}\left(u,v\right)\right)\\ =c\left(f+f\text{'}\right)\left(u,v\right)\end{array}$

   よって、双1次形式である。

   スカラー倍について。

   $\begin{array}{}\left(af\right)\left(u+v,w\right)\\ =af\left(u+v,w\right)\\ =a\left(f\left(u,w\right)+f\left(v,w\right)\right)\\ =af\left(u,w\right)+af\left(v,w\right)\\ =\left(af\right)\left(u,w\right)+\left(af\right)\left(v,w\right)\\ \left(af\right)\left(cu,v\right)\\ =af\left(cu,v\right)\\ =acf\left(u,v\right)\\ =caf\left(u,v\right)\\ =c\left(af\right)\left(u,v\right)\\ \left(af\right)\left(u,v+w\right)\\ =af\left(u,v+w\right)\\ =a\left(f\left(u,v\right)+f\left(u,w\right)\right)\\ =af\left(u,v\right)+af\left(u,w\right)\\ =\left(af\right)\left(u,v\right)+\left(af\right)\left(u,w\right)\\ \left(af\right)\left(u,cv\right)\\ =af\left(u,cv\right)\\ =acf\left(u,v\right)\\ =caf\left(u,v\right)\\ =c\left(af\right)\left(u,v\right)\end{array}$

   よって、双1次形式である。

   共役双1次形式について。 （1、3、4について は双1次形式と同様。なので2について。）
   和について。

   $\begin{array}{}\left(f+f\text{'}\right)\left(au,v\right)\\ =f\left(au,v\right)+f\text{'}\left(au,v\right)\\ =\stackrel{-}{af}\left(u,v\right)+\stackrel{-}{a}f\text{'}\left(u,v\right)\\ =\stackrel{-}{a}\left(f\left(u,v\right)+f\text{'}\left(u,v\right)\right)\\ =\stackrel{-}{a}\left(f+f\text{'}\right)\left(u,v\right)\end{array}$

   よって、共役双1次形式である。

   スカラー 倍について。

   $\begin{array}{}\left(af\right)\left(cu,v\right)\\ =af\left(cu,v\right)\\ =a\stackrel{-}{c}f\left(u,v\right)\\ =\stackrel{-}{c}af\left(u,v\right)\\ =\stackrel{-}{c}\left(af\right)\left(u,v\right)\end{array}$

   よって、 共役双1次形式である。