2018年11月12日月曜日

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線型代数入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 2) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(エルミート双1次形式、内積空間)、1(双1次形式、共役双1次形式)、問題1.を取り組んでみる。


  1. 双1次形式について。

    和について。

    f + f ' u + v , w = f u + v , w + f ' u + v , w = f u , w + f v , w + f ' u , w + f ' v , w = f u , w + f ' u , w + f v , w + f ' v , w = f + f ' u , w + f + f ' v , w f + f ' u , v + w = f u , v + w + f ' u , v + w = f u , v + f u , w + f ' u , v + f ' u , w = f u , v + f ' u , v + f u , w + f ' U , w = f + f ' u , v + f + f ' u , w f + f ' c u , v = f c u , v + f ' c u , v = c f u , v + c f ' u , v = c f u , v + f ' u , v = c f + f ' u , v f + f ' u , c v = f u , c v + f ' u , c v = c f u , v + c f ' u , v = c f u , v + f ' u , v = c f + f ' u , v

    よって、双1次形式である。

    スカラー倍について。

    a f u + v , w = a f u + v , w = a f u , w + f v , w = a f u , w + a f v , w = a f u , w + a f v , w a f c u , v = a f c u , v = a c f u , v = c a f u , v = c a f u , v a f u , v + w = a f u , v + w = a f u , v + f u , w = a f u , v + a f u , w = a f u , v + a f u , w a f u , c v = a f u , c v = a c f u , v = c a f u , v = c a f u , v

    よって、双1次形式である。

    共役双1次形式について。 (1、3、4について は双1次形式と同様。なので2について。)
    和について。

    f + f ' a u , v = f a u , v + f ' a u , v = a f - u , v + a - f ' u , v = a - f u , v + f ' u , v = a - f + f ' u , v

    よって、共役双1次形式である。

    スカラー 倍について。

    a f c u , v = a f c u , v = a c - f u , v = c - a f u , v = c - a f u , v

    よって、 共役双1次形式である。

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