数学 - 集合と位相 - 位相空間 - R^nの距離と位相(内部と閉包)

集合・位相入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   1. 
      
      $A=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x=\left(x_1,x_2\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_1^2-4x_2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\right\}$

      よって、 内部は

      $A^0=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x=\left(x_1,x_2\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_1^2-4x_2>0\right\}$

      閉包は

      $\stackrel{-}{A}=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x=\left(x_1,x_2\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_1^2-4x_2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\right\}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}B=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x_1^2-4x_2<0\right\}\\ B^0=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x_1^2-4x_2<0\right\}\\ \stackrel{-}{B}=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x_1^2-4x_2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->0\right\}\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}{C}^0=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ \stackrel{-}{C}={\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{}{D}^0=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ \stackrel{-}{D}=\left\{x|0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x_1=x_2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\right\}\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{}{x}_1>0,b=x_1-a,0<a<x_1\\ x_2=a^2+x_1^2-2a{x}_1+a^2\\ =2a^2-2a{x}_1+x_1^2\\ =2\left(a^2-a{x}_1\right)+x_1^2\\ =2{\left(a-\frac{1}{2}{x}_1\right)}^2-\frac{1}{2}{x}_1^2+x_1^2\\ =2{\left(a-\frac{1}{2}{x}_1\right)}^2+\frac{1}{2}{x}_1^2\\ \frac{1}{2}{x}_1^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x_2<2{\left(x_1-\frac{1}{2}{x}_1\right)}^2+\frac{1}{2}{x}_1^2=x_1^2\end{array}$

      よって、集合 E とその内部、閉包はそれぞれ

      $\begin{array}{}E=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x_1>0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\frac{1}{2}{x}_1^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x_2<x_1^2\right\}\\ E^0=\left\{x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2|x_1>0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\frac{1}{2}{x}_1^2<x_2<x_1^2\right\}\\ \stackrel{-}{E}=\left|x\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^2\right|x_1\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\frac{1}{2}{x}_1^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x_2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x_1^2\}\end{array}$

      となる。