2018年10月24日水曜日

学習環境

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題4.を取り組んでみる。



    1. A = x 2 | x = x 1 , x 2 x 1 2 - 4 x 2 0

      よって、 内部は

      A 0 = x 2 | x = x 1 , x 2 x 1 2 - 4 x 2 > 0

      閉包は

      A - = x 2 | x = x 1 , x 2 x 1 2 - 4 x 2 0

    2. B = x 2 | x 1 2 - 4 x 2 < 0 B 0 = x 2 | x 1 2 - 4 x 2 < 0 B - = x 2 | x 1 2 - 4 x 2 0

    3. C 0 = ϕ C - = 2

    4. D 0 = ϕ D - = x | 0 x 1 = x 2 1

    5. x 1 > 0 , b = x 1 - a , 0 < a < x 1 x 2 = a 2 + x 1 2 - 2 a x 1 + a 2 = 2 a 2 - 2 a x 1 + x 1 2 = 2 a 2 - a x 1 + x 1 2 = 2 a - 1 2 x 1 2 - 1 2 x 1 2 + x 1 2 = 2 a - 1 2 x 1 2 + 1 2 x 1 2 1 2 x 1 2 x 2 < 2 x 1 - 1 2 x 1 2 + 1 2 x 1 2 = x 1 2

      よって、集合 E とその内部、閉包はそれぞれ

      E = x 2 | x 1 > 0 1 2 x 1 2 x 2 < x 1 2 E 0 = x 2 | x 1 > 0 1 2 x 1 2 < x 2 < x 1 2 E - = x 2 x 1 0 1 2 x 1 2 x 2 x 1 2 }

      となる。

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