2018年10月20日土曜日

学習環境

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題3.を取り組んでみる。


  1. c = c 1 , , c n

    を開区間の任意の点とする。

    0 < ε < min d c 1 , a 1 , d c 1 , b 1 , , d c n , a n , d c n , b n

    とおけば、

    c k - k , c k + ε a k , b k k = 1 , , n

    となり、すなわち

    B c ; ε

    は開区間 に含まれる。

    よって開区間の任意の点は開区間の内点なので、開区間は開集合である。

    c = c 1 , , c n

    c を閉区間の補集合の任意の点とする。

    0 < ε < min d c 1 , a 1 , d c 1 , b 1 , , d c n , a n , d c n , b n

    とおけば、

    a i , b i c 1 - ε , c 1 + ε = ϕ i = 1 , , n

    よって、

    B c ; ε

    は閉区間の補集合に含まれる。

    よって、閉区間の補集合は開集合である。

    ゆえに、閉区間は開集合の補集合なので閉集合である。

    (証明終)

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