## 2018年10月5日金曜日

### 数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 漸化式で定められる数列(極形式、累乗(整数乗))

1. $\begin{array}{}{a}_{n}\\ =\frac{1}{\sqrt{7}}\left(-i{\left(\sqrt{2}\left(\mathrm{cos}\theta +i\mathrm{sin}\theta \right)\right)}^{n}+i{\left(\sqrt{2}\left(\mathrm{cos}\theta -i\mathrm{sin}\theta \right)\right)}^{n}\right)\\ =\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{n}}{\sqrt{7}}\left(-i\left(\mathrm{cos}n\theta +i\mathrm{sin}n\theta \right)+i\left(\mathrm{cos}n\theta -i\mathrm{sin}n\theta \right)\right)\\ =\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{n}}{\sqrt{7}}·2\mathrm{sin}n\theta \\ =\frac{2{\left(\sqrt{2}\right)}^{n}}{\sqrt{7}}\mathrm{sin}n\theta \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, sqrt, I

print('1.')

θ = symbols('θ')
n = symbols('n', integer=True)

a = sqrt(2) * (cos(θ) + I * sin(θ))
b = sqrt(2) * (cos(θ) - I * sin(θ))

an = 1 / sqrt(7) * (- I * a ** n + I * b ** n)

for t in [an, an.expand(), an.factor(), an.simplify()]:
pprint(t)
print()


$./sample1.py 1. ⎛ n n⎞ √7⋅⎝ⅈ⋅(√2⋅(-ⅈ⋅sin(θ) + cos(θ))) - ⅈ⋅(√2⋅(ⅈ⋅sin(θ) + cos(θ))) ⎠ ─────────────────────────────────────────────────────────────── 7 n n √7⋅ⅈ⋅(-√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ)) √7⋅ⅈ⋅(√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ)) ──────────────────────────────── - ─────────────────────────────── 7 7 ⎛ n n⎞ √7⋅ⅈ⋅⎝(-√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ)) - (√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ)) ⎠ ─────────────────────────────────────────────────────────────── 7 ⎛ n n⎞ ⎜⎛ -ⅈ⋅θ⎞ ⎛ ⅈ⋅θ⎞ ⎟ √7⋅ⅈ⋅⎝⎝√2⋅ℯ ⎠ - ⎝√2⋅ℯ ⎠ ⎠ ─────────────────────────────── 7$