数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 漸化式で定められる数列(極形式、累乗(整数乗))

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、6(漸化式で定められる数列)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}{a}_n\\ =\frac{1}{\sqrt{7}}\left(-i{\left(\sqrt{2}\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^n+i{\left(\sqrt{2}\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^n\right)\\ =\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}{\sqrt{7}}\left(-i\left(\cos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+i\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+i\left(\cos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-i\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ =\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}{\sqrt{7}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{2{\left(\sqrt{2}\right)}^n}{\sqrt{7}}\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, sqrt, I

print('1.')

θ = symbols('θ')
n = symbols('n', integer=True)

a = sqrt(2) * (cos(θ) + I * sin(θ))
b = sqrt(2) * (cos(θ) - I * sin(θ))

an = 1 / sqrt(7) * (- I * a ** n + I * b ** n)

for t in [an, an.expand(), an.factor(), an.simplify()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
   ⎛                           n                             n⎞
√7⋅⎝ⅈ⋅(√2⋅(-ⅈ⋅sin(θ) + cos(θ)))  - ⅈ⋅(√2⋅(ⅈ⋅sin(θ) + cos(θ))) ⎠
───────────────────────────────────────────────────────────────
                               7                               

                               n                                 n
√7⋅ⅈ⋅(-√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ))    √7⋅ⅈ⋅(√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ)) 
──────────────────────────────── - ───────────────────────────────
               7                                  7               

     ⎛                          n                            n⎞
√7⋅ⅈ⋅⎝(-√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ))  - (√2⋅ⅈ⋅sin(θ) + √2⋅cos(θ)) ⎠
───────────────────────────────────────────────────────────────
                               7                               

     ⎛          n            n⎞
     ⎜⎛    -ⅈ⋅θ⎞    ⎛    ⅈ⋅θ⎞ ⎟
√7⋅ⅈ⋅⎝⎝√2⋅ℯ    ⎠  - ⎝√2⋅ℯ   ⎠ ⎠
───────────────────────────────
               7               

$