数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 漸化式で定められる数列(漸化式、一般項、複素数の除去、極形式、三角関数(正弦、余弦))

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、6(漸化式で定められる数列)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   固有多項式(特性多項式)、固有値を求める。

   $\begin{array}{}{x}^2+2x+3\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=-1+\sqrt{2}i,\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=-1-\sqrt{2}i\end{array}$

   固有値を極形式で表す。

   $\begin{array}{}r=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\sqrt{3}\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ \mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=\sqrt{3}\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{array}$

   また、最初の2項より、

   $\begin{array}{}A+B=1\\ A\left(-1+\sqrt{2}i\right)+B\left(-1-\sqrt{2}i\right)=2\\ \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=1\\ a+c=1\\ b+d=0\\ c=1-a\\ d=-b\\ B=\left(1-a\right)-bi\\ \left(a+bi\right)\left(-1+\sqrt{2}i\right)+\left(\left(1-a\right)-bi\right)\left(-1-\sqrt{2}i\right)=2\\ \left(-a-\sqrt{2}b-1+a-\sqrt{2}b\right)+\left(\sqrt{2}a-b-\sqrt{2}+\sqrt{2}a+b\right)i=2\\ -2\sqrt{2}b-1=2\\ 2\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\\ b=-\frac{3}{2\sqrt{2}}\\ a=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{2}\\ d=\frac{3}{2\sqrt{2}}\\ A=\frac{1}{2}\left(1-\frac{3}{\sqrt{2}}i\right)\\ B=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{\sqrt{2}}i\right)\end{array}$

   よって、求める数列の一般項を三角関数を用いて表すと、

   $\begin{array}{}{a}_n\\ =\frac{1}{2}\left(\left(1-\frac{3}{\sqrt{2}}i\right){\left(\sqrt{3}\right)}^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+i\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)+\left(1+\frac{3}{\sqrt{2}}i\right){\left(\sqrt{3}\right)}^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)-i\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\right)\\ =\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^n}{2}\left(2\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+\frac{6}{\sqrt{2}}\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ ={\left(\sqrt{3}\right)}^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+\frac{3}{\sqrt{2}}\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, acos, sqrt, solve, Rational

print('4.')


def an(n):
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return 2
    return -2 * an(n - 1) - 3 * an(n - 2)


n = symbols('n')

θ = acos(-1 / sqrt(3))
bn = sqrt(3) ** n * (cos(n * θ) + 3 / sqrt(2) * sin(n * θ))
pprint(sin(θ))
pprint(bn)
for k in range(0, 20):
    print(f'n = {k}', an(k) == int(bn.subs({n: k})))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
√6
──
3 
 n ⎛        ⎛      ⎛-√3 ⎞⎞                    ⎞
 ─ ⎜3⋅√2⋅sin⎜n⋅acos⎜────⎟⎟                    ⎟
 2 ⎜        ⎝      ⎝ 3  ⎠⎠      ⎛      ⎛-√3 ⎞⎞⎟
3 ⋅⎜────────────────────── + cos⎜n⋅acos⎜────⎟⎟⎟
   ⎝          2                 ⎝      ⎝ 3  ⎠⎠⎠
n = 0 True
n = 1 True
n = 2 True
n = 3 True
n = 4 True
n = 5 True
n = 6 True
n = 7 True
n = 8 True
n = 9 True
n = 10 True
n = 11 True
n = 12 True
n = 13 True
n = 14 True
n = 15 True
n = 16 True
n = 17 True
n = 18 True
n = 19 True
$