数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 漸化式で定められる数列(漸化式、一般項、固有多項式、解)

学習環境

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、6(漸化式で定められる数列)、問題2.を取り組んでみる。

漸化式の国有多項式。

$\begin{array}{l} x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 \\ = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) \\ = (x + 1) (x - 2) (x - 3) \end{array}$

よって解は-1、2、3。

一般項の一般形。

$a_{n} = A {(- 1)}^{n} + B 2^{n} + C 3^{n}$

よって、

$\begin{array}{l} a_{0} = A + B + C = 1 \\ a_{1} = - A + 2 B + 3 C = 0 \\ a_{2} = A + 4 B + 9 C = 4 \\ C = 1 - A - B \\ - A + 2 B + 3 - 3 A - 3 B = 0 \\ B = - 4 A + 3 \\ C = 1 - A + 4 A - 3 = 3 A - 2 \\ A - 16 A + 12 + 27 A - 18 = 4 \\ A = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \\ B = - \frac{20}{6} + 3 = - \frac{2}{6} \\ C = \frac{15}{6} - 2 = \frac{3}{6} \end{array}$

ゆえに、求める一般項は、

$a_{n} = \frac{1}{6} (5 {(- 1)}^{n} - 2^{(n + 1)} + 3^{(n + 1)})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational

print('2.')


def an(n):
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return 0
    if n == 2:
        return 4
    return 4 * an(n - 1) - an(n - 2) - 6 * an(n - 3)


n = symbols('n')
bn = Rational(1, 6) * (5 * (-1) ** n - 2 ** (n + 1) + 3 ** (n + 1))

for k in range(0, 20):
    print(f'a{k}', an(k), bn.subs({n: k}), an(k) == bn.subs({n: k}))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
a0 1 1 True
a1 0 0 True
a2 4 4 True
a3 10 10 True
a4 36 36 True
a5 110 110 True
a6 344 344 True
a7 1050 1050 True
a8 3196 3196 True
a9 9670 9670 True
a10 29184 29184 True
a11 87890 87890 True
a12 264356 264356 True
a13 794430 794430 True
a14 2386024 2386024 True
a15 7163530 7163530 True
a16 21501516 21501516 True
a17 64526390 64526390 True
a18 193622864 193622864 True
a19 580955970 580955970 True
$

Kamimura's blog

2018年10月6日土曜日

数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 漸化式で定められる数列(漸化式、一般項、固有多項式、解)

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