2018年10月19日金曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題4.を取り組んでみる。


  1. x、 y を任意の実数とする。

    a x + b = a y + b a x = a y x = y

    よって単射である。

    また、

    a z + b = y z = y - b a a · y - b a + b = y

    よって、 全射である。

    ゆえに全単射、置換である。

    a = 1 , b = 0

    とおけば、

    σ x = x

    となるので G は対称群の単位元を含む。

    任意の

    σ 1 x = a 1 x + b 1 σ 2 x = a 2 x + b 2 σ 1 , σ 2 G

    に対して、

    σ 1 σ 2 x = σ 1 a 2 x + b 2 = a 1 a 2 x + b 2 + b 1 = a 1 a 2 x + a 1 b 2 + b 1 a 1 a 2 0

    よって、 写像の合成について閉じている。

    σ 1 σ 2 G

    また、

    σ 1 - 1 x = x - b 1 a 1 = 1 a 1 x - b 1 a 1 1 a 1 0 σ 1 - 1 x G

    よって逆写像の G の元である。

    以上より、 問題の形の R の置換の全体G は対称群 S (G)の部分群をなす。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('4.')


a = symbols('a', nonzero=True, real=True)
b, x, y = symbols('b, x, y', real=True)

f = a * x + b
g = 1 / a * x - b / a

for t in [f, g, g.subs({x:f.subs({x:y})}).simplify()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
a⋅x + b

  b   x
- ─ + ─
  a   a

y

$

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