数学 - 解析学 - 積分 - 積分の計算 - いろいろな問題(周期関数、定積分)

解析入門 原書第3版
原著

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第11章(積分の計算)、補充問題(いろいろな問題)9.を取り組んでみる。

9. 
   
   $\begin{array}{}\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x\right)\mathrm{dx}\\ =\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x+s\right)\mathrm{dx}\\ t=x-s\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=1\\ \underset{a+s}{\overset{b+s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =\underset{a+s}{\overset{b+s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x\right)\mathrm{dx}\end{array}$

   よって、

   $\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f=\underset{a+s}{\overset{b+s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f$

   また、

   $\begin{array}{}\underset{a}{\overset{a+s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x\right)\mathrm{dx}\\ =\underset{a}{\overset{a+s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x+s\right)\mathrm{dx}\\ t=x-a\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=1\\ {\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{s}f\left(t\right)\mathrm{dt}\end{array}$

   よって、

   $\underset{a}{\overset{a+s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f=\underset{0}{\overset{s}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f$