数学 - 代数学 - 群 - 群とその例(全ての公理が二項算法、等式のみによって表される複雑な公理系、単位元、逆元、結合律) | Kamimura's blog

2018年10月2日火曜日

数学 - 代数学 - 群 - 群とその例(全ての公理が二項算法、等式のみによって表される複雑な公理系、単位元、逆元、結合律)

代数系入門

学習環境

代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題10.を取り組んでみる。

L 1よりある定数 e が存在して、任意のG の元 x に対して、

$\frac{x}{x} = e$

L 1より

$a / e = a$

L 3より、

$e / (b / c) = c / b$

また、

$\begin{array}{l} b^{- 1} = e / b \\ a b = a / (e / b) \\ e^{- 1} = (e / e) / e = e / e = e \\ a e = a / e^{- 1} = a / e = a \\ e a = e / a^{- 1} = e / (e / a) = a / e = a \end{array}$

よって、 e を単位元とすれば、 G 2が成り立つ。

また、

$\begin{array}{l} {(a^{(- 1)})}^{- 1} \\ = e / a^{(- 1)} \\ = e / (e / a) \\ = a / e \\ = a \\ a a^{(- 1)} \\ = a / {(a^{(- 1)})}^{- 1} \\ = a / a \\ = e \\ a^{(- 1)} a \\ = a^{(- 1)} / a^{(- 1)} \\ = e \end{array}$

よって G 3が成り立つ。

L 4 について。

$\begin{array}{l} (a c^{(- 1)}) / (b c^{(- 1)}) = a b^{(- 1)} \\ (a c^{(- 1)}) {(b c^{(- 1)})}^{(- 1)} = a b^{(- 1)} \end{array}$

よって、 s、 t、 u を G の任意の元とすると、

$\begin{array}{l} (s t) u = ((s t) t^{(- 1)}) {(u^{(- 1)} t^{(- 1)})}^{(- 1)} \\ (s t) {(e t)}^{(- 1)} = s \\ (s t) t^{(- 1)} = s \\ (s t) u = s {(u^{(- 1)} t^{(- 1)})}^{(- 1)} \end{array}$

また、 L 3より

${(b c^{(- 1)})}^{(- 1)} = c b^{(- 1)}$

が成り立つので、

${(u^{(- 1)} t^{(- 1)})}^{(- 1)} = t u$

ゆえに、

$(s t) u = s (t u)$

となり、 G 1の結合律が成り立つ。

以上より、 G は群である。

（証明終）

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