2018年10月2日火曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題10.を取り組んでみる。


  1. L 1よりある定数 e が存在して、任意のG の元 x に対して、

    x x = e

    L 1より

    a / e = a

    L 3より、

    e / b / c = c / b

    また、

    b - 1 = e / b a b = a / e / b e - 1 = e / e / e = e / e = e a e = a / e - 1 = a / e = a e a = e / a - 1 = e / e / a = a / e = a

    よって、 e を単位元とすれば、 G 2が成り立つ。

    また、

    a - 1 - 1 = e / a - 1 = e / e / a = a / e = a a a - 1 = a / a - 1 - 1 = a / a = e a - 1 a = a - 1 / a - 1 = e

    よって G 3が成り立つ。

    L 4 について。

    a c - 1 / b c - 1 = a b - 1 a c - 1 b c - 1 - 1 = a b - 1

    よって、 s、 t、 u を G の任意の元とすると、

    s t u = s t t - 1 u - 1 t - 1 - 1 s t e t - 1 = s s t t - 1 = s s t u = s u - 1 t - 1 - 1

    また、 L 3より

    b c - 1 - 1 = c b - 1

    が成り立つので、

    u - 1 t - 1 - 1 = t u

    ゆえに、

    s t u = s t u

    となり、 G 1の結合律が成り立つ。

    以上より、 G は群である。

    (証明終)

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