2018年10月30日火曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題8.を取り組んでみる。


  1. S = σ , τ

    とおく。

    σ 2 = τ 2 = e

    より、

    σ - 1 = σ , τ - 1 = τ

    よって、

    S S - 1 = σ , τ

    S によって 生成される G の元は、

    e , σ τ , τ σ = σ τ , τ
    • て、 S の生成系 H は
    H = e , σ , τ , σ τ

    となる。

    これは位数4の G の部分群である。

    H のすべての部分群を求める。

    位数1の部分群。

    e

    位数4の計分群。

    H

    位数2の部分群。

    e , σ , e , τ , e , σ τ

    位数3の部分群 は存在しない。

    σ τ e , σ , τ σ σ τ = σ 2 τ = τ e , σ , σ τ σ τ τ = σ τ 2 = σ e , τ , σ τ

    よって、 S によって 生成される部分群 H のすべての部分群は、

    e , e , σ , e , τ , e , σ τ , e , σ , τ , σ τ

    に決定。

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