2018年9月15日土曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題1.を取り組んでみる。


  1. det x - a b - b x - a = x 2 - 2 a x + a 2 + b 2 = x 2 - 2 a x + 1 x 2 - 2 a x + 1 = 0 D 4 = a 2 - 1 a 2 + b 2 = 1 b 2 = 1 - a 2

    ことで、 b は零ではないので、

    a 2 < 1 a 2 - 1 < 0

    よって A は実数の中には固有値をもたず、国有ベクトルをもたない。

    ゆえに対角化可能ではない。

    複素数においては

    x = a ± a 2 - 1 = a ± - b 2 = a ± b i ± b i s + b t = 0 - b s ± b i t = 0 s = 1 , t = i p 1 = 1 i , p 2 = 1 i

    と国有値とそれに属する固有ベクトルが存在し、

    P = 1 1 - i i P - 1 A P = 1 2 i i - 1 i 1 a - b b a 1 1 - i i = 1 2 i a i - b - a - b i a i + b a - b i 1 1 - i i = 1 2 i a i - b + a i - b a i - b - a i + b a i + b - a i - b a i + b + a i + b = 1 2 i 2 a i - 2 b 0 0 2 a i + 2 b = a + b i 0 0 a - b i

    となるので、行列 A は C において対角化可能である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('1.')

a, b = symbols('a, b')
A = Matrix([[a, -b],
            [b, a]])
P = Matrix([[1, 1],
            [-I, I]])

for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎡a  -b⎤
⎢     ⎥
⎣b  a ⎦

⎡1   1⎤
⎢     ⎥
⎣-ⅈ  ⅈ⎦

⎡      ⅈ ⎤
⎢1/2   ─ ⎥
⎢      2 ⎥
⎢        ⎥
⎢     -ⅈ ⎥
⎢1/2  ───⎥
⎣      2 ⎦

⎡a + ⅈ⋅b     0   ⎤
⎢                ⎥
⎣   0     a - ⅈ⋅b⎦

$

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