数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 対角化の条件(実数、複素数、計算)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、Surfaceペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-a& b\\ -b& x-a\end{array}\right)\\ =x^2-2ax+a^2+b^2\\ =x^2-2ax+1\\ x^2-2ax+1=0\\ \frac{D}{4}=a^2-1\\ a^2+b^2=1\\ b^2=1-a^2\end{array}$

   ことで、 b は零ではないので、

   $\begin{array}{}{a}^2<1\\ a^2-1<0\end{array}$

   よって A は実数の中には固有値をもたず、国有ベクトルをもたない。

   ゆえに対角化可能ではない。

   複素数においては

   $\begin{array}{}x=a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{a^2-1}\\ =a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{-b^2}\\ =a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->bi\\ \pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->bis+bt=0\\ -bs\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->bit=0\\ s=1,t=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->i\\ p_1=\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right),p_2=\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)\end{array}$

   と国有値とそれに属する固有ベクトルが存在し、

   $\begin{array}{}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -i& i\end{array}\right)\\ P^{-1}AP\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}i& -1\\ i& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -i& i\end{array}\right)\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}ai-b& -a-bi\\ ai+b& a-bi\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -i& i\end{array}\right)\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}ai-b+ai-b& ai-b-ai+b\\ ai+b-ai-b& ai+b+ai+b\end{array}\right)\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}2ai-2b& 0\\ 0& 2ai+2b\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a+bi& 0\\ 0& a-bi\end{array}\right)\end{array}$

   となるので、行列 A は C において対角化可能である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('1.')

a, b = symbols('a, b')
A = Matrix([[a, -b],
            [b, a]])
P = Matrix([[1, 1],
            [-I, I]])

for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎡a  -b⎤
⎢     ⎥
⎣b  a ⎦

⎡1   1⎤
⎢     ⎥
⎣-ⅈ  ⅈ⎦

⎡      ⅈ ⎤
⎢1/2   ─ ⎥
⎢      2 ⎥
⎢        ⎥
⎢     -ⅈ ⎥
⎢1/2  ───⎥
⎣      2 ⎦

⎡a + ⅈ⋅b     0   ⎤
⎢                ⎥
⎣   0     a - ⅈ⋅b⎦

$