数学 - Python - 線形代数学 - 群 – 群とその実例(多項式、累乗、零点、複素数、極座標)

ラング線形代数学(下)
原著

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  • Pythonからはじめる数学入門
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ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の14章(群)、1(群とその実例)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   零点

   $e^{i\left(\frac{k}{n}\right)}=\cos \frac{k}{n}+i\sin \frac{k}{n}\left(k=0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\right)$

   群ならば、位数は n。

   $\begin{array}{}\left(e^{i\frac{a}{n}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->e^{i\frac{b}{n}}\right)e^{i\frac{c}{n}}\\ =e^{i\frac{a+b+c}{n}}\\ =e^{i\frac{a}{n}}\left(e^{i\frac{b}{n}}{e}^{i\frac{c}{n}}\right)\end{array}$

   より、結合律は成り立つ。
   単位元は

   $e^{i\frac{0}{n}}=1$

   逆元は、

   $e^{i\frac{k}{n}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->e^{i\frac{n-k}{n}}=1$

   よって群である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, solve

print('3.')

n = symbols('n', integer=True)
x = symbols('x', imag=True)
f = x ** n - 1
for n0 in range(1, 6):
    f0 = f.subs({n: n0})
    xs = solve(f0)
    pprint(xs)
    for x1 in xs:
        for x2 in xs:
            print(f0.subs({x: x1 * x2}).expand() == 0)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
[1]
True


[-1, 1]
True
True

True
True


⎡     1   √3⋅ⅈ    1   √3⋅ⅈ⎤
⎢1, - ─ - ────, - ─ + ────⎥
⎣     2    2      2    2  ⎦
True
True
True

True
True
True

True
True
True


[-1, 1, -ⅈ, ⅈ]
True
True
True
True

True
True
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True

True
True
True
True

True
True
True
True


⎡                    ________                   ________                   ___
⎢     1   √5        ╱ √5   5     1   √5        ╱ √5   5     √5   1        ╱   
⎢1, - ─ + ── - ⅈ⋅  ╱  ── + ─ , - ─ + ── + ⅈ⋅  ╱  ── + ─ , - ── - ─ - ⅈ⋅  ╱  - 
⎣     4   4      ╲╱   8    8     4   4      ╲╱   8    8     4    4     ╲╱     

_______                   __________⎤
√5   5     √5   1        ╱   √5   5 ⎥
── + ─ , - ── - ─ + ⅈ⋅  ╱  - ── + ─ ⎥
8    8     4    4     ╲╱     8    8 ⎦
True
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