2018年9月25日火曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題2.を取り組んでみる。


  1. 固有多項式。

    det x - 1 - 2 - 4 0 x - 1 - 4 0 0 x + 3 = x - 1 2 x + 3

    固有値は1、-3。

    固有値1に対する固有ベクトルを求める。

    - 2 b - 4 c = 0 - 4 c = 0 4 c = 0 c = 0 b = 0 1 0 0

    よって、固有空間は1次元。

    一方、固有値1の重複度は2なので、行列 A は対角化可能ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('2.')

x = symbols('x')
A = Matrix([[1, 2, 4],
            [0, 1, 4],
            [0, 0, -3]])
I = Matrix([[1, 0, 0],
            [0, 1, 0],
            [0, 0, 1]])
B = x * I - A
for t in [A, I, B, B.det()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡1  2  4 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  4 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  -3⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡x - 1   -2     -4  ⎤
⎢                   ⎥
⎢  0    x - 1   -4  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  0      0    x + 3⎦

       2        
(x - 1) ⋅(x + 3)

$

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