数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有空間(重複度、固有ベクトル、3次、固有多項式(特性多項式)、対角化可能ではない場合)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   固有多項式。

   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x-1& -2& -4\\ 0& x-1& -4\\ 0& 0& x+3\end{array}\right)\\ ={\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)\end{array}$

   固有値は1、-3。

   固有値1に対する固有ベクトルを求める。

   $\begin{array}{}-2b-4c=0\\ -4c=0\\ 4c=0\\ c=0\\ b=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

   よって、固有空間は1次元。

   一方、固有値1の重複度は2なので、行列 A は対角化可能ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('2.')

x = symbols('x')
A = Matrix([[1, 2, 4],
            [0, 1, 4],
            [0, 0, -3]])
I = Matrix([[1, 0, 0],
            [0, 1, 0],
            [0, 0, 1]])
B = x * I - A
for t in [A, I, B, B.det()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡1  2  4 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  4 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  -3⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡x - 1   -2     -4  ⎤
⎢                   ⎥
⎢  0    x - 1   -4  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  0      0    x + 3⎦

       2        
(x - 1) ⋅(x + 3)

$