2018年9月18日火曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題4-(a)、(b).を取り組んでみる。



    1. det x 0 - 1 0 x - 2 0 - 3 0 x = x 2 x - 2 - 3 x - 2 = x 2 - 3 x - 2

      よって固有値は、

      ± 3 , 2

      固有ベクトルを求める。

      ± 3 a - c = 0 ± 3 - 2 b = 0 - 3 a ± 3 c = 0 b = 0 , a = ± 3 , c = 3 ± 3 0 3 2 a - c = 0 - 3 a + 2 c = 0 a = 0 , c = 0 0 1 0

      問題の行列は対角化可能で、対角化する正則行列は、

      P = 3 - 3 0 0 0 1 3 3 0

    2. det x - 1 - 3 - 5 0 x - 1 0 2 2 x - 3 = x - 1 2 x - 3 + 10 x - 1 = x - 1 x 2 - 4 x + 3 + 10 = x - 1 x 2 - 4 x + 13 4 - 13 = - 9 < 0

      よって、実数においては対角化可能ではない。

      複素数においては対角化可能。

      固有値、固有ベクトルを求める。

      x = 1 , 2 ± 3 i - 3 b - 5 c = 0 2 a + 2 b - 2 c = 0 c = - 3 5 b 2 a + 2 b + 6 5 b = 0 a = 1 2 - 2 b - 6 5 b - 8 5 - 3 1 ± 3 i b = 0 2 a + 2 b + - 1 ± 3 i c = 0 b = 0 1 ± 3 i a - 5 c = 0 2 a + - 1 ± 3 i c = 0 a = 1 3 i , c = 2 1 3 i 0 2

      よって、対角化する正則行列は、

      P = - 8 1 - 3 i 1 + 3 i 5 0 0 - 3 2 2

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, sqrt

print('4.')

As = [Matrix([[0, 0, 1],
              [0, 2, 0],
              [3, 0, 0]]),
      Matrix([[1, 3, 5],
              [0, 1, 0],
              [-2, -2, 3]])]
Ps = [Matrix([[sqrt(3), -sqrt(3), 0],
              [0, 0, 1],
              [3, 3, 0]]),
      Matrix([[-8, 1 - 3 * I, 1 + 3 * I],
              [5, 0, 0],
              [-3, 2, 2]])]

for i, (A, P) in enumerate(zip(As, Ps)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
        pprint(t.expand())
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
(a)
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  2  0⎥
⎢       ⎥
⎣3  0  0⎦

⎡√3  -√3  0⎤
⎢          ⎥
⎢0    0   1⎥
⎢          ⎥
⎣3    3   0⎦

⎡ √3         ⎤
⎢ ──   0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎢-√3         ⎥
⎢────  0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎣ 0    1   0 ⎦

⎡√3   0   0⎤
⎢          ⎥
⎢0   -√3  0⎥
⎢          ⎥
⎣0    0   2⎦


(b)
⎡1   3   5⎤
⎢         ⎥
⎢0   1   0⎥
⎢         ⎥
⎣-2  -2  3⎦

⎡-8  1 - 3⋅ⅈ  1 + 3⋅ⅈ⎤
⎢                    ⎥
⎢5      0        0   ⎥
⎢                    ⎥
⎣-3     2        2   ⎦

⎡ 0      1/5       0   ⎤
⎢                      ⎥
⎢ ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢ ─   ── + ────  ─ - ──⎥
⎢ 6   20    60   4   12⎥
⎢                      ⎥
⎢-ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢───  ── - ────  ─ + ──⎥
⎣ 6   20    60   4   12⎦

⎡1     0        0   ⎤
⎢                   ⎥
⎢0  2 + 3⋅ⅈ     0   ⎥
⎢                   ⎥
⎣0     0     2 - 3⋅ⅈ⎦


$

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ