数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有空間(重複度、固有ベクトル、2次、固有多項式(特性多項式)、対角化可能であるための必要十分条件)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   固有多項式（特性多項式）

   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-a& -c\\ 0& x-b\end{array}\right)\\ =\left(x-a\right)\left(x-b\right)\end{array}$

   a と b が 等しいとき、 固有値は a で、固有ベクトルは

   $\begin{array}{}-ct=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

   となり、 問題の2次の行列は対角化可能ではない。

   a と b が異なるとき、固有ベクトルは、

   $\begin{array}{}-ct=0\\ \left(a-b\right)t=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ \left(b-a\right)s-ct=0\\ \left(\begin{array}{c}c\\ b-a\end{array}\right)\end{array}$

   となるので、 2次の行列は対角化可能である。

   実際に、

   $\begin{array}{}P=\left(\begin{array}{cc}1& c\\ 0& b-a\end{array}\right)\\ \det P=b-a\\ P^{-1}=\frac{1}{b-a}\left(\begin{array}{cc}b-a& -c\\ 0& 1\end{array}\right)\\ P^{-1}\left(\begin{array}{cc}a& c\\ 0& b\end{array}\right)P\\ =\frac{1}{b-a}\left(\begin{array}{cc}b-a& -c\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& c\\ 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& c\\ 0& b-a\end{array}\right)\\ =\frac{1}{b-a}\left(\begin{array}{cc}a\left(b-a\right)& -ac\\ 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& c\\ 0& b-a\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('3.')

a, b = symbols('a, b')
c = symbols('c', nonzero=True)
A = Matrix([[a, c],
            [0, b]])
P = Matrix([[1, c],
            [0, b - a]])
for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
⎡a  c⎤
⎢    ⎥
⎣0  b⎦

⎡1    c   ⎤
⎢         ⎥
⎣0  -a + b⎦

⎡    -c   ⎤
⎢1  ──────⎥
⎢   -a + b⎥
⎢         ⎥
⎢     1   ⎥
⎢0  ──────⎥
⎣   -a + b⎦

⎡                  ⎛   b⋅c      ⎞⎤
⎢a  a⋅c + (-a + b)⋅⎜- ────── + c⎟⎥
⎢                  ⎝  -a + b    ⎠⎥
⎢                                ⎥
⎣0                b              ⎦

$