2018年9月26日水曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題3.を取り組んでみる。


  1. 固有多項式(特性多項式)

    det x - a - c 0 x - b = x - a x - b

    a と b が 等しいとき、 固有値は a で、固有ベクトルは

    - c t = 0 1 0

    となり、 問題の2次の行列は対角化可能ではない。

    a と b が異なるとき、固有ベクトルは、

    - c t = 0 a - b t = 0 1 0 b - a s - c t = 0 c b - a

    となるので、 2次の行列は対角化可能である。

    実際に、

    P = 1 c 0 b - a det P = b - a P - 1 = 1 b - a b - a - c 0 1 P - 1 a c 0 b P = 1 b - a b - a - c 0 1 a c 0 b 1 c 0 b - a = 1 b - a a b - a - a c 0 b 1 c 0 b - a = a 0 0 b

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('3.')

a, b = symbols('a, b')
c = symbols('c', nonzero=True)
A = Matrix([[a, c],
            [0, b]])
P = Matrix([[1, c],
            [0, b - a]])
for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
⎡a  c⎤
⎢    ⎥
⎣0  b⎦

⎡1    c   ⎤
⎢         ⎥
⎣0  -a + b⎦

⎡    -c   ⎤
⎢1  ──────⎥
⎢   -a + b⎥
⎢         ⎥
⎢     1   ⎥
⎢0  ──────⎥
⎣   -a + b⎦

⎡                  ⎛   b⋅c      ⎞⎤
⎢a  a⋅c + (-a + b)⋅⎜- ────── + c⎟⎥
⎢                  ⎝  -a + b    ⎠⎥
⎢                                ⎥
⎣0                b              ⎦

$

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