数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有多項式(特性多項式)(2次)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、Surfaceペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、2(固有多項式(特性多項式))、問題5-(a)、(b)、(c)、(d).を取り組んでみる。

5. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x+2& 1\\ -1& x-3\end{array}\right)\\ =x^2-x-6+1\\ =x^2-x-5\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-3& 1\\ -1& x-1\end{array}\right)\\ =x^2-4x+3+1\\ =x^2-4x+4\\ ={\left(x-2\right)}^2\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-1& -2\\ -2& x-4\end{array}\right)\\ =x^2-5x+4-4\\ =x\left(x-5\right)\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-5i& -1\\ -3& x-2i\end{array}\right)\\ =x^2-7ix-10-3\\ =x^2-7ix-13\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I
import random

print('5.')

x = symbols('x')


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


def f(n, A):
    In = Matrix([[g(i, j) for j in range(n)]
                 for i in range(n)])
    return (x * In - A)


ms = [Matrix([[-2, -1],
              [1, 3]]),
      Matrix([[3, -1],
              [1, 1]]),
      Matrix([[1, 2],
              [2, 4]]),
      Matrix([[5 * I, 1],
              [3, 2 * I]])]

for i, m in enumerate(ms):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    d = f(2, m).det()
    for t in [m, f(2, m), d.expand(), d.simplify(), d.factor()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
5.
(a)
⎡-2  -1⎤
⎢      ⎥
⎣1   3 ⎦

⎡x + 2    1  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -1    x - 3⎦

 2        
x  - x - 5

 2        
x  - x - 5

 2        
x  - x - 5


(b)
⎡3  -1⎤
⎢     ⎥
⎣1  1 ⎦

⎡x - 3    1  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -1    x - 1⎦

 2          
x  - 4⋅x + 4

(x - 3)⋅(x - 1) + 1

       2
(x - 2) 


(c)
⎡1  2⎤
⎢    ⎥
⎣2  4⎦

⎡x - 1   -2  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -2    x - 4⎦

 2      
x  - 5⋅x

x⋅(x - 5)

x⋅(x - 5)


(d)
⎡5⋅ⅈ   1 ⎤
⎢        ⎥
⎣ 3   2⋅ⅈ⎦

⎡x - 5⋅ⅈ    -1   ⎤
⎢                ⎥
⎣  -3     x - 2⋅ⅈ⎦

 2             
x  - 7⋅ⅈ⋅x - 13

 2             
x  - 7⋅ⅈ⋅x - 13

 2             
x  - 7⋅ⅈ⋅x - 13


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