2018年9月24日月曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題1.を取り組んでみる。


  1. 固有多項式。

    det x - 1 - 1 4 x - 4 - 2 - 2 1 x - 1 = x x - 4 x - 1 - 4 - 4 - 2 x - 4 + 4 x - 1 + 2 x = x x - 4 x - 1 + 4 x - 1 = x 2 - 4 x - 4 x - 1 = x - 2 2 x - 1

    固有値は2、 1。

    それぞれの固有値に対する固有ベクトル。

    2 a - b - c = 0 4 a - 2 b - 2 c = 0 - 2 a + b + c = 0 a = 1 , b = 1 , c = 1 a = 0 , b = 1 , c = - 1 1 1 1 , 0 1 - 1 a - b - c = 0 4 a - 3 b - 2 c = 0 - 2 a + b = 0 b = 2 a - a - c = 0 a = 1 , b = 2 , c = - 1 1 2 - 1

    対角化可能なことを確認。

    P = 1 0 1 1 1 2 1 - 1 - 1 Δ 11 = - 1 + 2 = 1 Δ 12 = - - 1 - 2 = 3 Δ 13 = - 1 - 1 = - 2 Δ 21 = - 1 Δ 22 = - 1 - 1 = - 2 Δ 23 = 1 Δ 31 = - 1 Δ 32 = - 2 - 1 = - 1 Δ 33 = 1 det P = - 1 - 1 - 1 - 2 = - 1 P - 1 = - 1 1 1 - 3 2 1 2 - 1 - 1 P - 1 A P = - 1 1 1 - 3 2 1 2 - 1 - 1 0 1 1 - 4 4 2 2 - 1 1 1 0 1 1 1 2 1 - 1 - 1 = - 2 2 2 - 6 4 2 2 - 1 - 1 1 0 1 1 1 2 1 - 1 - 1 = 2 0 0 0 2 0 0 0 1

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('1.')

A = Matrix([[0, 1, 1],
            [-4, 4, 2],
            [2, -1, 1]])
P = Matrix([[1, 0, 1],
            [1, 1, 2],
            [1, -1, -1]])

for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
(a)
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  2  0⎥
⎢       ⎥
⎣3  0  0⎦

⎡√3  -√3  0⎤
⎢          ⎥
⎢0    0   1⎥
⎢          ⎥
⎣3    3   0⎦

⎡ √3         ⎤
⎢ ──   0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎢-√3         ⎥
⎢────  0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎣ 0    1   0 ⎦

⎡√3   0   0⎤
⎢          ⎥
⎢0   -√3  0⎥
⎢          ⎥
⎣0    0   2⎦


(b)
⎡1   3   5⎤
⎢         ⎥
⎢0   1   0⎥
⎢         ⎥
⎣-2  -2  3⎦

⎡-8  1 - 3⋅ⅈ  1 + 3⋅ⅈ⎤
⎢                    ⎥
⎢5      0        0   ⎥
⎢                    ⎥
⎣-3     2        2   ⎦

⎡ 0      1/5       0   ⎤
⎢                      ⎥
⎢ ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢ ─   ── + ────  ─ - ──⎥
⎢ 6   20    60   4   12⎥
⎢                      ⎥
⎢-ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢───  ── - ────  ─ + ──⎥
⎣ 6   20    60   4   12⎦

⎡1     0        0   ⎤
⎢                   ⎥
⎢0  2 + 3⋅ⅈ     0   ⎥
⎢                   ⎥
⎣0     0     2 - 3⋅ⅈ⎦


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