2018年9月5日水曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題4.を取り組んでみる。


  1. G は空でない集合なので、 a を G の任意の元とする。

    G から G への写像を

    f : G G f x = a x

    と定義する。

    このとき、

    f x = a x f y = a y f x = f y a x = a y x = y

    f は単射である。

    また、 G は有限集合なので、 f は全射である。

    よって、 f は全射射である。

    ゆえに、 G の任意の元 a、 b に対して、

    a x = b

    となる G の元 x が存在する。

    同様に、

    x a = b

    となる x が存在する。

    以上と問題3 より G は群である。

    (証明終)

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