数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(複素固有値、固有ベクトル、因数分解、実数解)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3-(d).を取り組んでみる。

3. 
   
   4. 
      

      特性多項式。

      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-2& -4\\ -5& t-3\end{array}\right)\\ =t^2-5t+6-20\\ =t^2-5t-14\\ =\left(t-7\right)\left(t+2\right)\end{array}$

      固有値。

      $\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}=-2,7$

      固有ベクトル。

      $\begin{array}{}\left(\begin{array}{cc}-4& -4\\ -5& -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ x=1,y=-1\\ \left(\begin{array}{cc}5& -4\\ -5& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ 5x-4y=0\\ -5x+4y=0\\ x=4,y=5\\ \left(1,-1\right),\left(4,5\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('3-(d).')

t, x, y = symbols('t, x, y')

A = Matrix([[2, 4],
            [5, 3]])
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b = E
    pprint(solve(a - b, dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
3-(d).
⎡2  4⎤
⎢    ⎥
⎣5  3⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡t - 2   -4  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -5    t - 3⎦

(t - 3)⋅(t - 2) - 20

[-2, 7]

[{x: -y}]
⎡⎧   4⋅y⎫⎤
⎢⎨x: ───⎬⎥
⎣⎩    5 ⎭⎦
$