数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(複素固有値、固有ベクトル)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3-(a).を取り組んでみる。

3. 
   
   1. 
      

      特性多項式。

      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-1& -i\\ -i& t+2\end{array}\right)\\ =t^2+t-2+1\\ =t^2+t-1\end{array}$

      固有値。

      $\frac{-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{5}}{2}$

      国有ベクトル。

      $\begin{array}{}\left(\begin{array}{cc}\frac{-3\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{5}}{2}& -i\\ -i& \frac{3\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \frac{-3\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{5}}{2}x-yi=0\\ -xi+\frac{3\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{5}}{2}y=0\\ x=2,y=\left(3\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->\sqrt{5}\right)i\\ \left(2,\left(3\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->\sqrt{5}\right)i\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('3.')

t, x, y = symbols('t, x, y')

A = Matrix([[1, I],
            [I, -2]])
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b = E
    pprint(solve(a - b))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
⎡1  ⅈ ⎤
⎢     ⎥
⎣ⅈ  -2⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡t - 1   -ⅈ  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -ⅈ    t + 2⎦

(t - 1)⋅(t + 2) + 1

⎡  1   √5    √5   1⎤
⎢- ─ + ──, - ── - ─⎥
⎣  2   2     2    2⎦

⎡⎧   y⋅(√5 + 3 + 2⋅ⅈ)⎫⎤
⎢⎨x: ────────────────⎬⎥
⎣⎩    -3 + √5 + 2⋅ⅈ  ⎭⎦
⎡⎧   y⋅(-3 + √5 - 2⋅ⅈ)⎫⎤
⎢⎨x: ─────────────────⎬⎥
⎣⎩      √5 + 3 - 2⋅ⅈ  ⎭⎦
$