数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(三角行列、固有値)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   特性多項式。

   $\underset{i=1}{\overset{n}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}\left(t-a_{ii}\right)$

   固有値。

   $a_{ii}\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('2.')

n = 10
t = symbols('t')


def f(i, j):
    if i < j:
        return 0
    return symbols(f'a{i}{j}')


def g(i, j):
    if i == j:
        return t
    return 0


A = Matrix([[f(i + 1, j + 1) for j in range(n)]
            for i in range(n)])

B = Matrix([[g(i, j) for j in range(n)]
            for i in range(n)])
C = B - A
for s in [A, B, C, C.det().factor()]:
    pprint(s)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡a₁₁    0     0     0     0     0     0     0     0      0  ⎤
⎢                                                           ⎥
⎢a₂₁   a₂₂    0     0     0     0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₃₁   a₃₂   a₃₃    0     0     0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₄₁   a₄₂   a₄₃   a₄₄    0     0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₅₁   a₅₂   a₅₃   a₅₄   a₅₅    0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₆₁   a₆₂   a₆₃   a₆₄   a₆₅   a₆₆    0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₇₁   a₇₂   a₇₃   a₇₄   a₇₅   a₇₆   a₇₇    0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₈₁   a₈₂   a₈₃   a₈₄   a₈₅   a₈₆   a₈₇   a₈₈    0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₉₁   a₉₂   a₉₃   a₉₄   a₉₅   a₉₆   a₉₇   a₉₈   a₉₉     0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎣a₁₀₁  a₁₀₂  a₁₀₃  a₁₀₄  a₁₀₅  a₁₀₆  a₁₀₇  a₁₀₈  a₁₀₉  a₁₀₁₀⎦

⎡t  0  0  0  0  0  0  0  0  0⎤
⎢                            ⎥
⎢0  t  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  t  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  t  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  t  0  0  0  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  t  0  0  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  t  0  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  t  0  0⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  t  0⎥
⎢                            ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0  t⎦

⎡-a₁₁ + t     0         0         0         0         0         0         0   
⎢                                                                             
⎢  -a₂₁    -a₂₂ + t     0         0         0         0         0         0   
⎢                                                                             
⎢  -a₃₁      -a₃₂    -a₃₃ + t     0         0         0         0         0   
⎢                                                                             
⎢  -a₄₁      -a₄₂      -a₄₃    -a₄₄ + t     0         0         0         0   
⎢                                                                             
⎢  -a₅₁      -a₅₂      -a₅₃      -a₅₄    -a₅₅ + t     0         0         0   
⎢                                                                             
⎢  -a₆₁      -a₆₂      -a₆₃      -a₆₄      -a₆₅    -a₆₆ + t     0         0   
⎢                                                                             
⎢  -a₇₁      -a₇₂      -a₇₃      -a₇₄      -a₇₅      -a₇₆    -a₇₇ + t     0   
⎢                                                                             
⎢  -a₈₁      -a₈₂      -a₈₃      -a₈₄      -a₈₅      -a₈₆      -a₈₇    -a₈₈ + 
⎢                                                                             
⎢  -a₉₁      -a₉₂      -a₉₃      -a₉₄      -a₉₅      -a₉₆      -a₉₇      -a₉₈ 
⎢                                                                             
⎣ -a₁₀₁     -a₁₀₂     -a₁₀₃     -a₁₀₄     -a₁₀₅     -a₁₀₆     -a₁₀₇     -a₁₀₈ 

      0          0     ⎤
                       ⎥
      0          0     ⎥
                       ⎥
      0          0     ⎥
                       ⎥
      0          0     ⎥
                       ⎥
      0          0     ⎥
                       ⎥
      0          0     ⎥
                       ⎥
      0          0     ⎥
                       ⎥
t     0          0     ⎥
                       ⎥
   -a₉₉ + t      0     ⎥
                       ⎥
    -a₁₀₉    -a₁₀₁₀ + t⎦

(-a₁₀₁₀ + t)⋅(-a₁₁ + t)⋅(-a₂₂ + t)⋅(-a₃₃ + t)⋅(-a₄₄ + t)⋅(-a₅₅ + t)⋅(-a₆₆ + t)
⋅(-a₇₇ + t)⋅(-a₈₈ + t)⋅(-a₉₉ + t)

$