2018年8月30日木曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、2(固有多項式(特性多項式))、問題2.を取り組んでみる。


  1. 問題の仮定より、

    A = P - 1 A ' P

    を満たす行列 P が存在する。


    また、問題1より、

    t r A = t r P - 1 A ' P = t r P P - 1 A ' = t r P P - 1 A ' = t r A '

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve
import random
print('2.')

for _ in range(10):
    n = random.randrange(1, 6)
    A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    P = Matrix([[random.randrange(-10, 10) for _ in range(1, n + 1)]
                for _ in range(1, n + 1)])
    P1 = P ** -1
    P1AP = P1 * A * P
    trA = A.trace()
    trP1AP = P1AP.trace()
    for t in [A, P, P1, trA, trP1AP, trA == trP1AP]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡-7  -2 ⎤
⎢       ⎥
⎣3   -10⎦

⎡-5/38  1/38 ⎤
⎢            ⎥
⎣-3/76  -7/76⎦

a₁₁ + a₂₂

a₁₁ + a₂₂

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃⎦

⎡6   -5  -2⎤
⎢          ⎥
⎢0   6   3 ⎥
⎢          ⎥
⎣-9  -7  0 ⎦

⎡         14        ⎤
⎢7/51    ───   -1/51⎥
⎢        153        ⎥
⎢                   ⎥
⎢-3/17  -2/17  -2/17⎥
⎢                   ⎥
⎢        29         ⎥
⎢6/17    ──    4/17 ⎥
⎣        51         ⎦

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃

True

[a₁₁]

[-7]

[-1/7]

a₁₁

a₁₁

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃⎦

⎡-7  8   3 ⎤
⎢          ⎥
⎢7   -9  0 ⎥
⎢          ⎥
⎣7   -6  -5⎦

⎡45   11   27 ⎤
⎢──   ──   ── ⎥
⎢28   14   28 ⎥
⎢             ⎥
⎢5/4  1/2  3/4⎥
⎢             ⎥
⎣3/4  1/2  1/4⎦

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄⎦

⎡-9  0   -9  3 ⎤
⎢              ⎥
⎢5   -5  -9  -2⎥
⎢              ⎥
⎢5   6   -9  6 ⎥
⎢              ⎥
⎣9   5   -3  5 ⎦

⎡                         15 ⎤
⎢-9/236  9/236   -5/236  ─── ⎥
⎢                        236 ⎥
⎢                            ⎥
⎢ -44              29    -28 ⎥
⎢ ────   -5/59     ──    ────⎥
⎢ 177              59     59 ⎥
⎢                            ⎥
⎢  29     -29    -115    109 ⎥
⎢ ───     ────   ─────   ─── ⎥
⎢ 708     708     708    708 ⎥
⎢                            ⎥
⎢ 121             -65     77 ⎥
⎢ ───    -1/118   ────   ─── ⎥
⎣ 354             118    118 ⎦

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄

True

[a₁₁]

[3]

[1/3]

a₁₁

a₁₁

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                       ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                       ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄  a₃₅⎥
⎢                       ⎥
⎢a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄  a₄₅⎥
⎢                       ⎥
⎣a₅₁  a₅₂  a₅₃  a₅₄  a₅₅⎦

⎡9   -2  5  7  -7⎤
⎢                ⎥
⎢-2  -3  2  7  -4⎥
⎢                ⎥
⎢7   -3  6  0  7 ⎥
⎢                ⎥
⎢-1  3   9  9  -8⎥
⎢                ⎥
⎣-5  4   0  1  -5⎦

⎡-33    -291    -403     185   -831  ⎤
⎢────   ─────   ─────    ───   ───── ⎥
⎢476     952     952     476    952  ⎥
⎢                                    ⎥
⎢-443   -1613   -2453   1243   -4881 ⎥
⎢─────  ──────  ──────  ────   ──────⎥
⎢ 952    1904    1904   952     1904 ⎥
⎢                                    ⎥
⎢ 157    519     1023   -433    1963 ⎥
⎢ ───    ───     ────   ─────   ──── ⎥
⎢ 476    952     952     476    952  ⎥
⎢                                    ⎥
⎢-523   -1453   -2853   1403   -5857 ⎥
⎢─────  ──────  ──────  ────   ──────⎥
⎢ 952    1904    1904   952     1904 ⎥
⎢                                    ⎥
⎢-393   -999    -1727    905   -3795 ⎥
⎢─────  ─────   ──────   ───   ──────⎥
⎣ 952    1904    1904    952    1904 ⎦

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄ + a₅₅

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄ + a₅₅

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄⎦

⎡-9  8   -1  9 ⎤
⎢              ⎥
⎢8   -4  1   9 ⎥
⎢              ⎥
⎢0   0   -8  -5⎥
⎢              ⎥
⎣2   8   3   -8⎦

⎡-55   312    125    211  ⎤
⎢────  ────   ────   ──── ⎥
⎢3413  3413   3413   3413 ⎥
⎢                         ⎥
⎢383    557    431    1219⎥
⎢────  ─────  ─────  ─────⎥
⎢6826  13652  13652  13652⎥
⎢                         ⎥
⎢-90   -110   -416    35  ⎥
⎢────  ─────  ─────  ──── ⎥
⎢3413   3413   3413  3413 ⎥
⎢                         ⎥
⎢144   176    -17    -56  ⎥
⎢────  ────   ────   ──── ⎥
⎣3413  3413   3413   3413 ⎦

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄

True

⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡-3  -9 ⎤
⎢       ⎥
⎣-3  -10⎦

⎡-10/3  3 ⎤
⎢         ⎥
⎣  1    -1⎦

a₁₁ + a₂₂

a₁₁ + a₂₂

True

⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡8  7 ⎤
⎢     ⎥
⎣3  -1⎦

⎡1/29  7/29 ⎤
⎢           ⎥
⎣3/29  -8/29⎦

a₁₁ + a₂₂

a₁₁ + a₂₂

True

$

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