数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(固有値、4次、行列式、複素数解、重解)

ラング線形代数学(下)
原著

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   特性多項式。

   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cccc}t& -1& 0& 0\\ 0& t& -1& 0\\ 0& 0& t& -1\\ -1& 0& 0& t\end{array}\right)\\ =t^4-1\\ =\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)\end{array}$

   固有値。

   $\begin{array}{}\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)=0\\ t=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->i,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve, sqrt

print('3-(f).')

t, x, y, z, w = symbols('t, x, y, z, w')

A = Matrix([[0, 1, 0, 0],
            [0, 0, 1, 0],
            [0, 0, 0, 1],
            [1, 0, 0, 0]])
B = Matrix([[t, 0, 0, 0],
            [0, t, 0, 0],
            [0, 0, t, 0],
            [0, 0, 0, t]])
C = B - A
D = C.det().factor()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y],
            [z],
            [w]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b, c, d = E
    pprint(solve((a, b, c), dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
3-(f).
⎡0  1  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  1  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  1⎥
⎢          ⎥
⎣1  0  0  0⎦

⎡t  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  t  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  t  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  t⎦

⎡t   -1  0   0 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   t   -1  0 ⎥
⎢              ⎥
⎢0   0   t   -1⎥
⎢              ⎥
⎣-1  0   0   t ⎦

                ⎛ 2    ⎞
(t - 1)⋅(t + 1)⋅⎝t  + 1⎠

[-1, 1, -ⅈ, ⅈ]

[{w: -z, x: z, y: -z}]
[{w: z, x: z, y: z}]
[{w: -ⅈ⋅z, x: -z, y: ⅈ⋅z}]
[{w: ⅈ⋅z, x: -z, y: -ⅈ⋅z}]
$