数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(複素固有値、固有ベクトル、因数分解、実数解、3次)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3-(g).を取り組んでみる。

3. 
   
   7. 
      

      特性多項式。

      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}t+1& -2& -2\\ -2& t-2& -2\\ 3& 6& t+6\end{array}\right)\\ =\left(t^2-t-2\right)\left(t+6\right)+12+24+12\left(t+1\right)-4\left(t+6\right)+6\left(t-2\right)\\ =t^3+5t^2-8t+24+12t+12-4t-24+6t-12\\ =t^3+5t^2+6t\end{array}$

      固有値。

      $\begin{array}{}t\left(t^2+5t+6\right)=0\\ t\left(t+2\right)\left(t+3\right)=0\\ \mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}=-3,-2,0\end{array}$

      固有ベクトル。

      $\begin{array}{}\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& -2\\ -2& -5& -2\\ 3& 6& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ x+y+z=0\\ 2x+5y+2y=0\\ x+2y+z=0\\ x=1,y=0,z=-1\\ \left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -2\\ -2& -4& -2\\ 3& 6& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ x+2y+2z=0\\ x+2y+z=0\\ 3x+6y+4z=0\\ x=2,y=-1,z=0\\ \left(\begin{array}{ccc}1& -2& -2\\ -2& -2& -2\\ 3& 6& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ x-2y-2z=0\\ x+y+z=0\\ x+2y+2z=0\\ x=0,y=1,z=-1\\ \left(1,0,-1\right),\left(2,-1,0\right),\left(0,1,-1\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('3-(f).')

t, x, y, z = symbols('t, x, y, z')

A = Matrix([[-1, 2, 2],
            [2, 2, 2],
            [-3, -6, -6]])
B = Matrix([[t, 0, 0],
            [0, t, 0],
            [0, 0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y],
            [z]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b, c = E
    pprint(solve((a, b, c), dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
3-(f).
⎡-1  2   2 ⎤
⎢          ⎥
⎢2   2   2 ⎥
⎢          ⎥
⎣-3  -6  -6⎦

⎡t  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  t  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  t⎦

⎡t + 1   -2     -2  ⎤
⎢                   ⎥
⎢ -2    t - 2   -2  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  3      6    t + 6⎦

14⋅t + (t - 2)⋅(t + 1)⋅(t + 6) + 12

[-3, -2, 0]

[{x: -z, y: 0}]
[{x: -2⋅y, z: 0}]
[{x: 0, y: -z}]
$