数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(固有値、固有ベクトル、行列式、重解、2次)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題11.を取り組んでみる。

11. 
    
    $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-2& 1\\ -1& t\end{array}\right)\\ =t^2-2t+1\\ ={\left(t-1\right)}^2\end{array}$

    固有値は1。

    固有ベクトル。

    $\begin{array}{}\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \left(1,1\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve, sqrt

print('3-(f).')

t, x, y = symbols('t, x, y')

A = Matrix([[2, -1],
            [1, 0]])
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
C = B - A
D = C.det().factor()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b = E
    pprint(solve((a, b), dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample12.py
3-(f).
⎡2  -1⎤
⎢     ⎥
⎣1  0 ⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡t - 2  1⎤
⎢        ⎥
⎣ -1    t⎦

       2
(t - 1) 

[1]

[{x: y}]
$