数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(固有値、固有ベクトル、行列式、重解、2次、3次)

ラング線形代数学(下)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題12-(a)、(b)、(c).を取り組んでみる。

12. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-1& -1\\ 0& t-1\end{array}\right)\\ ={\left(t-1\right)}^2\end{array}$

       固有値 1。

       固有ベクトル。

       $\begin{array}{}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \left(1,0\right)\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}t-1& -1& -1\\ 0& t-1& -1\\ 0& 0& t-1\end{array}\right)\\ ={\left(t-1\right)}^3\end{array}$

       固有値1。

       固有ベクトル。

       $\begin{array}{}\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ z=0\\ y=0\\ \left(1,0,0\right)\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}t-1& -1& 0\\ 0& t-1& -1\\ 0& 0& t-1\end{array}\right)\\ ={\left(t-1\right)}^3\end{array}$

       固有値は1。

       固有ベクトル。

       $\begin{array}{}\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ y=0\\ z=0\\ \left(1,0,0\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve, sqrt

print('13.')

t, x, y, z = symbols('t, x, y, z')

As = [Matrix([[1, 1],
              [0, 1]]),
      Matrix([[1, 1, 1],
              [0, 1, 1],
              [0, 0, 1]]),
      Matrix([[1, 1, 0],
              [0, 1, 1],
              [0, 0, 1]])]
Bs = [Matrix([[t, 0],
              [0, t]]),
      Matrix([[t, 0, 0],
              [0, t, 0],
              [0, 0, t]]),
      Matrix([[t, 0, 0],
              [0, t, 0],
              [0, 0, t]])]

Xs = [Matrix([[x],
              [y]]),
      Matrix([[x],
              [y],
              [z]]),
      Matrix([[x],
              [y],
              [z]])]
for i, (A, B, X) in enumerate(zip(As, Bs, Xs)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    C = B - A
    D = C.det().factor()
    ts = solve(D, t)
    for s in [A, B, C, D, ts]:
        pprint(s)
        print()

    for t0 in ts:
        E = C.subs({t: t0}) * X
        pprint(solve(E, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample13.py
13.
(a)
⎡1  1⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡t - 1   -1  ⎤
⎢            ⎥
⎣  0    t - 1⎦

       2
(t - 1) 

[1]

[{y: 0}]

(b)
⎡1  1  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  1⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡t  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  t  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  t⎦

⎡t - 1   -1     -1  ⎤
⎢                   ⎥
⎢  0    t - 1   -1  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  0      0    t - 1⎦

       3
(t - 1) 

[1]

[{y: 0, z: 0}]

(c)
⎡1  1  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  1⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡t  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  t  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  t⎦

⎡t - 1   -1      0  ⎤
⎢                   ⎥
⎢  0    t - 1   -1  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  0      0    t - 1⎦

       3
(t - 1) 

[1]

[{y: 0, z: 0}]

$