数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(複素固有値、固有ベクトル、2次)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3-(b).を取り組んでみる。

3. 
   
   2. 
      

      特性多項式。

      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-1& -i\\ i& t-1\end{array}\right)\\ =t^2-2t+1-1\\ =t^2-2t\\ =t\left(t-2\right)\end{array}$

      固有値。

      $\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}=0,2$

      固有ベクトル。

      $\begin{array}{}\left(\begin{array}{cc}-1& -i\\ i& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ -x-iy=0\\ xi-y=0\\ x=1,y=i\\ \left(\begin{array}{cc}1& -i\\ i& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ x-yi=0\\ xi+y=0\\ x=1,y=-i\\ \left(1,i\right),\left(1,-i\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('3.')

t, x, y = symbols('t, x, y')

A = Matrix([[1, I],
            [-I, 1]])
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b = E
    pprint(solve(a - b))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
3.
⎡1   ⅈ⎤
⎢     ⎥
⎣-ⅈ  1⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡t - 1   -ⅈ  ⎤
⎢            ⎥
⎣  ⅈ    t - 1⎦

       2    
(t - 1)  - 1

[0, 2]

[{x: -ⅈ⋅y}]
[{x: ⅈ⋅y}]
$