数学 - 代数学 - 群 - 写像(部分集合、全射、逆像の像、包含関係)

代数系入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、1(写像)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   4. 
      
      $y\in \; <!--\; element\; of\; -->U\text{'}$

      とする。

      問題の仮定より、 f は全射なのである

      $x\in \; <!--\; element\; of\; -->S$

      が存在して、

      $f\left(x\right)=y$

      よって、

      $x\in \; <!--\; element\; of\; -->f^{-1}\left(U\text{'}\right)$

      ゆえに、

      $y=f\left(x\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(f^{-1}\left(U\text{'}\right)\right)$

      が成り立つので、

      $\begin{array}{}f\left(f^{-1}\left(U\text{'}\right)\right)\supset \; <!--\; superset\; of\; -->U\text{'}\\ f\left(f^{-1}\left(U\text{'}\right)\right)=U\text{'}\end{array}$