数学 - 代数学 - 群 - 群とその例(逆元、結合律、帰納法、一般化)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}\left(a_1{a}_2\right)\left(a_2^{-1}{a}_1^{-1}\right)\\ =a_1\left(a_2{a}_2^{-1}\right)a_1^{-1}\\ =a_{1}e{a}_1^{-1}\\ =a_1{a}_1^{-1}\\ =e\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{}\left(a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n\right)\left(a_n^{-1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_1^{-1}\right)\\ =a_1\left(a_2\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n\right)\left(a_n^{-1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_2^{-1}\right)a_1^{-1}\\ =a_{1}e{a}_1^{-1}\\ =a_1{a}_2^{-1}\\ =e\end{array}$

   よって、帰納法により、全ての正の 整数はついて成り立つ。

   （証明終）