数学 - Python - 解析学 - 固有値と２次形式 - 基底変換、行列の固有値(逆行列、対角化、複素数)

解析入門〈4〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈4〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第18章(固有値と２次形式)、18.1(基底変換、行列の固有値)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}{P}^{-1}=\frac{1}{i+i}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\begin{array}{cc}i& -1\\ i& 1\end{array}\right)\\ P^{-1}AP=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}i& -1\\ i& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -i& i\end{array}\right)\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}-b+ai& -a-bi\\ b+ai& a-bi\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -i& i\end{array}\right)\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}-b+ai+ai-b& -b+ai-ai+b\\ b+ai-ai-b& b+ai+ai+b\end{array}\right)\\ =\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}-2b+2ai& 0\\ 0& 2b+2ai\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a+bi& 0\\ 0& a-bi\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('2.')
a, b = symbols('a, b')
A = Matrix([[a, -b],
            [b, a]])
P = Matrix([[1, 1],
            [-I, I]])

for t in [P ** -1, A, P, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡      ⅈ ⎤
⎢1/2   ─ ⎥
⎢      2 ⎥
⎢        ⎥
⎢     -ⅈ ⎥
⎢1/2  ───⎥
⎣      2 ⎦

⎡a  -b⎤
⎢     ⎥
⎣b  a ⎦

⎡1   1⎤
⎢     ⎥
⎣-ⅈ  ⅈ⎦

⎡a + ⅈ⋅b     0   ⎤
⎢                ⎥
⎣   0     a - ⅈ⋅b⎦

$