数学 - Python - 解析学 - 行列式 - 行列式の他の性質(余因子行列(随伴行列)の行列式)

解析入門〈3〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}Aadj\left(A\right)=\left(\det A\right)I_n\\ \det \left(Aadj\left(A\right)\right)=\det \left(\left(\det A\right)I_n\right)\\ \det \left(A\right)\det \left(adj\left(A\right)\right)={\left(\det A\right)}^n\\ \det A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ \det \left(adj\left(A\right)\right)={\left(\det A\right)}^{n-1}\\ \det A=0\\ Aadj\left(A\right)=O\end{array}$

   ここで、 A の随伴行列が可逆、 すなわち行列式が零ではないと仮定すると、

   $\begin{array}{}A\left(adjA\right){\left(adjA\right)}^{-1}=O\\ A=O\\ adjA=O\\ \det \left(adjA\right)=0\end{array}$

   これは

   $\det \left(adjA\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   と矛盾する。

   よって、

   $\det \left(adjA\right)=0$

   ゆえに

   $\det \left(adjA\right)={\left(\det A\right)}^{n-1}=0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('4')


def f(A, i, j, n):
    def f(k, l):
        if k < i and l < j:
            return A[k, l]
        if k < i and l >= j:
            return A[k, l + 1]
        if k >= i and l < j:
            return A[k + 1, l]
        return A[k + 1, l + 1]
    return Matrix([[f(k, l) for l in range(n - 1)]
                   for k in range(n - 1)])


def g(A, i, j, n):
    return (-1) ** (i + j) * f(A, i, j, n).det()


for n in range(1, 4):
    print(f'{n}次')
    A = Matrix([symbols(', '.join([chr(ord('a') + i)
                                   for i in range(n * n)]))]).reshape(n, n)

    adjA = Matrix([[g(A, j, i, n) for j in range(n)]
                   for i in range(n)])

    for t in [A, adjA, adjA.det().expand() == (A.det() ** (n - 1)).expand()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
4.
1次
[a]

[1]

True


2次
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡d   -b⎤
⎢      ⎥
⎣-c  a ⎦

True


3次
⎡a  b  c⎤
⎢       ⎥
⎢d  e  f⎥
⎢       ⎥
⎣g  h  i⎦

⎡e⋅i - f⋅h   -b⋅i + c⋅h  b⋅f - c⋅e ⎤
⎢                                  ⎥
⎢-d⋅i + f⋅g  a⋅i - c⋅g   -a⋅f + c⋅d⎥
⎢                                  ⎥
⎣d⋅h - e⋅g   -a⋅h + b⋅g  a⋅e - b⋅d ⎦

True


$