数学 - Python - 解析学 - 行列式 - 行列式の他の性質(連立一次方程式の解、クラメールの公式、逆行列、随伴行列)

解析入門〈3〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $x_j=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{c}\det \left(e_j,a_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ \det \left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_{n-1},e_j\right)\end{array}\right)$

   よって、行列 A の(i, j)成分は、

   $\frac{{\left(-1\right)}^{j+i}\det A_{ji}}{\det A}$

   ゆえに、行列 A の逆行列は、

   $A^{-1}=\frac{1}{\det A}adj\left(A\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix


def f(A, i, j, n):
    def f(k, l):
        if k < i and l < j:
            return A[k, l]
        if k < i and l >= j:
            return A[k, l + 1]
        if k >= i and l < j:
            return A[k + 1, l]
        return A[k + 1, l + 1]
    return Matrix([[f(k, l) for l in range(n - 1)]
                   for k in range(n - 1)])


def g(A, i, j, n):
    return (-1) ** (i + j) * f(A, i, j, n).det()


for n in range(1, 5):
    A = Matrix([symbols(', '.join([chr(ord('a') + i)
                                   for i in range(n * n)]))]).reshape(n, n)

    adjA = Matrix([[g(A, j, i, n) for j in range(n)]
                   for i in range(n)])

    A1 = 1 / A.det() * adjA
    E = A * A1
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            print(E[i, j].factor(), end=' ')
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
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