数学 - Python - 解析学 - 行列式 - 行列式の他の性質(列、展開、符号、帰納法)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題1-(b).を取り組んでみる。

1. 
   
   2. 
      
      $\begin{array}{}{D}_n=\left(1+x^2\right)D_{n-1}-x^2{D}_{n-2}\\ D_1=1+x^2\\ D_2={\left(1+x^2\right)}^2-x^2=1+x^2+x^4\end{array}$

      よって、帰納法により、

      $D_n=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}^{2i}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, init_printing

init_printing(order='rev-lex')

x = symbols('x')


def f(i, j):
    if i == j:
        return 1 + x ** 2
    if i + 1 == j or i == j + 1:
        return x
    return 0


for n in range(1, 11):
    print(f'{n}次')
    m = Matrix([[f(i, j) for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    for t in [m, m.det()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
1次
⎡     2⎤
⎣1 + x ⎦

     2
1 + x 


2次
⎡     2        ⎤
⎢1 + x     x   ⎥
⎢              ⎥
⎢             2⎥
⎣  x     1 + x ⎦

        2     
⎛     2⎞     2
⎝1 + x ⎠  - x 


3次
⎡     2                ⎤
⎢1 + x     x       0   ⎥
⎢                      ⎥
⎢             2        ⎥
⎢  x     1 + x     x   ⎥
⎢                      ⎥
⎢                     2⎥
⎣  0       x     1 + x ⎦

        3                
⎛     2⎞       2 ⎛     2⎞
⎝1 + x ⎠  - 2⋅x ⋅⎝1 + x ⎠


4次
⎡     2                        ⎤
⎢1 + x     x       0       0   ⎥
⎢                              ⎥
⎢             2                ⎥
⎢  x     1 + x     x       0   ⎥
⎢                              ⎥
⎢                     2        ⎥
⎢  0       x     1 + x     x   ⎥
⎢                              ⎥
⎢                             2⎥
⎣  0       0       x     1 + x ⎦

     2    4    6    8
1 + x  + x  + x  + x 


5次
⎡     2                                ⎤
⎢1 + x     x       0       0       0   ⎥
⎢                                      ⎥
⎢             2                        ⎥
⎢  x     1 + x     x       0       0   ⎥
⎢                                      ⎥
⎢                     2                ⎥
⎢  0       x     1 + x     x       0   ⎥
⎢                                      ⎥
⎢                             2        ⎥
⎢  0       0       x     1 + x     x   ⎥
⎢                                      ⎥
⎢                                     2⎥
⎣  0       0       0       x     1 + x ⎦

     2    4    6    8    10
1 + x  + x  + x  + x  + x  


6次
⎡     2                                        ⎤
⎢1 + x     x       0       0       0       0   ⎥
⎢                                              ⎥
⎢             2                                ⎥
⎢  x     1 + x     x       0       0       0   ⎥
⎢                                              ⎥
⎢                     2                        ⎥
⎢  0       x     1 + x     x       0       0   ⎥
⎢                                              ⎥
⎢                             2                ⎥
⎢  0       0       x     1 + x     x       0   ⎥
⎢                                              ⎥
⎢                                     2        ⎥
⎢  0       0       0       x     1 + x     x   ⎥
⎢                                              ⎥
⎢                                             2⎥
⎣  0       0       0       0       x     1 + x ⎦

     2    4    6    8    10    12
1 + x  + x  + x  + x  + x   + x  


7次
⎡     2                                                ⎤
⎢1 + x     x       0       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                      ⎥
⎢             2                                        ⎥
⎢  x     1 + x     x       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                      ⎥
⎢                     2                                ⎥
⎢  0       x     1 + x     x       0       0       0   ⎥
⎢                                                      ⎥
⎢                             2                        ⎥
⎢  0       0       x     1 + x     x       0       0   ⎥
⎢                                                      ⎥
⎢                                     2                ⎥
⎢  0       0       0       x     1 + x     x       0   ⎥
⎢                                                      ⎥
⎢                                             2        ⎥
⎢  0       0       0       0       x     1 + x     x   ⎥
⎢                                                      ⎥
⎢                                                     2⎥
⎣  0       0       0       0       0       x     1 + x ⎦

     2    4    6    8    10    12    14
1 + x  + x  + x  + x  + x   + x   + x  


8次
⎡     2                                                        ⎤
⎢1 + x     x       0       0       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢             2                                                ⎥
⎢  x     1 + x     x       0       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢                     2                                        ⎥
⎢  0       x     1 + x     x       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢                             2                                ⎥
⎢  0       0       x     1 + x     x       0       0       0   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢                                     2                        ⎥
⎢  0       0       0       x     1 + x     x       0       0   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢                                             2                ⎥
⎢  0       0       0       0       x     1 + x     x       0   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢                                                     2        ⎥
⎢  0       0       0       0       0       x     1 + x     x   ⎥
⎢                                                              ⎥
⎢                                                             2⎥
⎣  0       0       0       0       0       0       x     1 + x ⎦

     2    4    6    8    10    12    14    16
1 + x  + x  + x  + x  + x   + x   + x   + x  


9次
⎡     2                                                                ⎤
⎢1 + x     x       0       0       0       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢             2                                                        ⎥
⎢  x     1 + x     x       0       0       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                     2                                                ⎥
⎢  0       x     1 + x     x       0       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                             2                                        ⎥
⎢  0       0       x     1 + x     x       0       0       0       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                                     2                                ⎥
⎢  0       0       0       x     1 + x     x       0       0       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                                             2                        ⎥
⎢  0       0       0       0       x     1 + x     x       0       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                                                     2                ⎥
⎢  0       0       0       0       0       x     1 + x     x       0   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                                                             2        ⎥
⎢  0       0       0       0       0       0       x     1 + x     x   ⎥
⎢                                                                      ⎥
⎢                                                                     2⎥
⎣  0       0       0       0       0       0       0       x     1 + x ⎦

     2    4    6    8    10    12    14    16    18
1 + x  + x  + x  + x  + x   + x   + x   + x   + x  


10次
⎡     2                                                                       
⎢1 + x     x       0       0       0       0       0       0       0       0  
⎢                                                                             
⎢             2                                                               
⎢  x     1 + x     x       0       0       0       0       0       0       0  
⎢                                                                             
⎢                     2                                                       
⎢  0       x     1 + x     x       0       0       0       0       0       0  
⎢                                                                             
⎢                             2                                               
⎢  0       0       x     1 + x     x       0       0       0       0       0  
⎢                                                                             
⎢                                     2                                       
⎢  0       0       0       x     1 + x     x       0       0       0       0  
⎢                                                                             
⎢                                             2                               
⎢  0       0       0       0       x     1 + x     x       0       0       0  
⎢                                                                             
⎢                                                     2                       
⎢  0       0       0       0       0       x     1 + x     x       0       0  
⎢                                                                             
⎢                                                             2               
⎢  0       0       0       0       0       0       x     1 + x     x       0  
⎢                                                                             
⎢                                                                     2       
⎢  0       0       0       0       0       0       0       x     1 + x     x  
⎢                                                                             
⎢                                                                             
⎣  0       0       0       0       0       0       0       0       x     1 + x

 ⎤
 ⎥
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2⎥
 ⎦

     2    4    6    8    10    12    14    16    18    20
1 + x  + x  + x  + x  + x   + x   + x   + x   + x   + x  


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