数学 - Python - 解析学 - 行列式 - 行列式の他の性質(列、展開、帰納法)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題1-(a).を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}{D}_n\left(a_0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\\ =x{D}_n\left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)+{\left(-1\right)}^{n+1}{\left(-1\right)}^{n-1}{a}_0\\ =a_0+x{D}_n\left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ =a_n+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{x}^n\\ =\underset{i=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i{x}^i\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

x = symbols('x')


def f(i, j, n):
    if i == n:
        return symbols(f'a{j}')
    if i == j:
        return x
    if i + 1 == j:
        return -1
    return 0


for n in range(10):
    m = Matrix([[f(i, j, n) for j in range(n + 1)]
                for i in range(n + 1)])
    for t in [m, m.det()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
[a₀]

a₀


⎡x   -1⎤
⎢      ⎥
⎣a₀  a₁⎦

a₀ + a₁⋅x


⎡x   -1  0 ⎤
⎢          ⎥
⎢0   x   -1⎥
⎢          ⎥
⎣a₀  a₁  a₂⎦

                2
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x 


⎡x   -1  0   0 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   x   -1  0 ⎥
⎢              ⎥
⎢0   0   x   -1⎥
⎢              ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃⎦

                2       3
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x 


⎡x   -1  0   0   0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   0   x   -1⎥
⎢                  ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄⎦

                2       3       4
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x 


⎡x   -1  0   0   0   0 ⎤
⎢                      ⎥
⎢0   x   -1  0   0   0 ⎥
⎢                      ⎥
⎢0   0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                      ⎥
⎢0   0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                      ⎥
⎢0   0   0   0   x   -1⎥
⎢                      ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅⎦

                2       3       4       5
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x  + a₅⋅x 


⎡x   -1  0   0   0   0   0 ⎤
⎢                          ⎥
⎢0   x   -1  0   0   0   0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0   0   x   -1  0   0   0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0   0   0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0   0   0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0   0   0   0   0   x   -1⎥
⎢                          ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆⎦

                2       3       4       5       6
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x  + a₅⋅x  + a₆⋅x 


⎡x   -1  0   0   0   0   0   0 ⎤
⎢                              ⎥
⎢0   x   -1  0   0   0   0   0 ⎥
⎢                              ⎥
⎢0   0   x   -1  0   0   0   0 ⎥
⎢                              ⎥
⎢0   0   0   x   -1  0   0   0 ⎥
⎢                              ⎥
⎢0   0   0   0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                              ⎥
⎢0   0   0   0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                              ⎥
⎢0   0   0   0   0   0   x   -1⎥
⎢                              ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇⎦

                2       3       4       5       6       7
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x  + a₅⋅x  + a₆⋅x  + a₇⋅x 


⎡x   -1  0   0   0   0   0   0   0 ⎤
⎢                                  ⎥
⎢0   x   -1  0   0   0   0   0   0 ⎥
⎢                                  ⎥
⎢0   0   x   -1  0   0   0   0   0 ⎥
⎢                                  ⎥
⎢0   0   0   x   -1  0   0   0   0 ⎥
⎢                                  ⎥
⎢0   0   0   0   x   -1  0   0   0 ⎥
⎢                                  ⎥
⎢0   0   0   0   0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                                  ⎥
⎢0   0   0   0   0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                                  ⎥
⎢0   0   0   0   0   0   0   x   -1⎥
⎢                                  ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇  a₈⎦

                2       3       4       5       6       7       8
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x  + a₅⋅x  + a₆⋅x  + a₇⋅x  + a₈⋅x 


⎡x   -1  0   0   0   0   0   0   0   0 ⎤
⎢                                      ⎥
⎢0   x   -1  0   0   0   0   0   0   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   x   -1  0   0   0   0   0   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   0   x   -1  0   0   0   0   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   0   0   x   -1  0   0   0   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   0   0   0   x   -1  0   0   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   0   0   0   0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   0   0   0   0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢0   0   0   0   0   0   0   0   x   -1⎥
⎢                                      ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇  a₈  a₉⎦

                2       3       4       5       6       7       8       9
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x  + a₅⋅x  + a₆⋅x  + a₇⋅x  + a₈⋅x  + a₉⋅x 


$