数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像の行列式(線形性、零)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(線形写像)、10(線形写像の行列式)、練習問題1.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A+C\right)\\ =\left(A+C\right)B-B\left(A+C\right)\\ =AB+CB-BA-BC\\ =AB-BA+CB-BC\\ ={\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A\right)+{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(C\right)\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{}{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(cA\right)\\ =\left(cA\right)B-B\left(cA\right)\\ =c\left(AB-BA\right)\\ =c{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A\right)\end{array}$

   よって、線形である。

   $\begin{array}{}\det \left(AB-BA\right)\\ =\det \left(AB\right)-\det \left(BA\right)\\ =\det A\det B-\det B\det A\\ =\det A\det B-\det A\det B\\ =0\end{array}$

   よって、

   $\det \left({\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\right)=0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, MatrixSymbol

print('1.')

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
c = symbols('c')
A = MatrixSymbol('A', n, n)
B = MatrixSymbol('B', n, n)
f = A * B - B * A

C = MatrixSymbol('C', n, n)

ts = [(f.subs({A: (A + C)}), f.subs({A: A}) + f.subs({A: C})),
      (f.subs({A: c * A}), c * f)]
for t in ts:
    for s in t:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
(A + C)⋅B + -B⋅(A + C)

A⋅B + C⋅B + -B⋅A + -B⋅C


c⋅A⋅B + -B⋅c⋅A

c⋅(A⋅B + -B⋅A)


$