2018年6月12日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題2-(a)、(b).を取り組んでみる。



    1. v 1 = 1 , 2 , 1 , 0 v 2 = 1 , 2 , 3 , 1 - 1 , 2 , 3 , 1 · 1 , 2 , 1 , 0 1 , 2 , 1 , 0 · 1 , 2 , 1 , 0 · 1 , 2 , 1 , 0 = 1 , 2 , 3 , 1 - 1 + 4 + 3 1 + 4 + 1 1 , 2 , 1 , 0 = 1 , 2 , 3 , 1 - 8 6 1 , 2 , 1 , 0 = 1 , 2 , 3 , 1 - 4 3 1 , 2 , 1 , 0 = 1 3 - 1 , - 2 , 5 , 3

      よって、正規直交基底は、

      v 1 v 1 = 1 1 + 4 + 1 1 , 2 , 1 , 0 = 1 6 1 , 2 , 1 , 0 v 2 v 2 = 1 1 + 4 + 25 + 9 - 1 , - 2 , 5 , 3 = 1 39 - 1 , - 2 , 5 , 3

    2. v 1 = 1 , 1 , 0 , 0 v 2 = 1 , - 1 , 1 , 1 - 1 , - 1 , 1 , 1 · 1 , 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0 = 1 , - 1 , 1 , 1 v 3 = - 1 , 0 , 2 , 1 - - 1 , 0 , 2 , 1 · 1 , - 1 , 1 , 1 1 , - 1 , 1 , 1 · 1 , - 1 , 1 , 1 1 , - 1 , 1 , 1 - - 1 , 0 , 2 , 1 · 1 , 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0 · 1 , 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0 = - 1 , 0 , 2 , 1 - - 1 + 2 + 1 1 + 1 + 1 + 1 1 , - 1 , 1 , 1 - - 1 1 + 1 1 , 1 , 0 , 0 = - 1 , 0 , 2 , 1 - 1 2 1 , - 1 , 1 , 1 + 1 2 1 , 1 , 0 , 0 = 1 2 - 2 , 2 , 3 , 1

      よって、正規直交基底は、

      1 2 1 , 1 , 0 , 0 1 2 1 , - 1 , 1 , 1 1 4 + 4 + 9 + 1 - 2 , 2 , 3 , 1 = 1 3 2 - 2 , 2 , 3 , 1

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sqrt, Rational

print('1.')
ts = [(1 / sqrt(6) * Matrix([[1, 2, 1, 0]]),
       1 / sqrt(39) * Matrix([[-1, -2, 5, 3]])),
      (1 / sqrt(2) * Matrix([[1, 1, 0, 0]]),
       Rational(1, 2) * Matrix([[1, -1, 1, 1]]),
       1 / (3 * sqrt(2)) * Matrix([[-2, 2, 3, 1]]))]

for i, vs in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for v1 in vs:
        for t in [v1, v1.norm()]:
            pprint(t)
            print()
        for v2 in vs:
            pprint(v1.dot(v2))
            print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
1.
(a)
⎡√6  √6  √6   ⎤
⎢──  ──  ──  0⎥
⎣6   3   6    ⎦

1

1

0

⎡-√39   -2⋅√39   5⋅√39  √39⎤
⎢─────  ───────  ─────  ───⎥
⎣  39      39      39    13⎦

1

0

1

(b)
⎡√2  √2      ⎤
⎢──  ──  0  0⎥
⎣2   2       ⎦

1

1

0

0

[1/2  -1/2  1/2  1/2]

1

0

1

0

⎡-√2   √2  √2  √2⎤
⎢────  ──  ──  ──⎥
⎣ 3    3   2   6 ⎦

1

0

0

1

$

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