数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 正値スカラー積(正規直交基底、4次元、部分空間、ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題2-(a)、(b).を取り組んでみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}{v}_1=\left(1,2,1,0\right)\\ v_2=\left(1,2,3,1\right)-\frac{\left(1,2,3,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,2,1,0\right)}{\left(1,2,1,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,2,1,0\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,2,1,0\right)\\ =\left(1,2,3,1\right)-\frac{1+4+3}{1+4+1}\left(1,2,1,0\right)\\ =\left(1,2,3,1\right)-\frac{8}{6}\left(1,2,1,0\right)\\ =\left(1,2,3,1\right)-\frac{4}{3}\left(1,2,1,0\right)\\ =\frac{1}{3}\left(-1,-2,5,3\right)\end{array}$

      よって、正規直交基底は、

      $\begin{array}{}\frac{v_1}{\left|v_1\right|}=\frac{1}{\sqrt{1+4+1}}\left(1,2,1,0\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{6}}\left(1,2,1,0\right)\\ \frac{v_2}{\left|v_2\right|}=\frac{1}{\sqrt{1+4+25+9}}\left(-1,-2,5,3\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{39}}\left(-1,-2,5,3\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}{v}_1=\left(1,1,0,0\right)\\ v_2=\left(1,-1,1,1\right)-\frac{\left(1,-1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}{\left(1,1,0,0\right)\left(1,1,0,0\right)}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(1,-1,1,1\right)\\ v_3=\left(-1,0,2,1\right)-\frac{\left(-1,0,2,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,1,1\right)}{\left(1,-1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,1,1\right)}\left(1,-1,1,1\right)-\frac{\left(-1,0,2,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}{\left(1,1,0,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(-1,0,2,1\right)-\frac{-1+2+1}{1+1+1+1}\left(1,-1,1,1\right)-\frac{-1}{1+1}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(-1,0,2,1\right)-\frac{1}{2}\left(1,-1,1,1\right)+\frac{1}{2}\left(1,1,0,0\right)\\ =\frac{1}{2}\left(-2,2,3,1\right)\end{array}$

      よって、正規直交基底は、

      $\begin{array}{}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,1,0,0\right)\\ \frac{1}{2}\left(1,-1,1,1\right)\\ \frac{1}{\sqrt{4+4+9+1}}\left(-2,2,3,1\right)=\frac{1}{3\sqrt{2}}\left(-2,2,3,1\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sqrt, Rational

print('1.')
ts = [(1 / sqrt(6) * Matrix([[1, 2, 1, 0]]),
       1 / sqrt(39) * Matrix([[-1, -2, 5, 3]])),
      (1 / sqrt(2) * Matrix([[1, 1, 0, 0]]),
       Rational(1, 2) * Matrix([[1, -1, 1, 1]]),
       1 / (3 * sqrt(2)) * Matrix([[-2, 2, 3, 1]]))]

for i, vs in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for v1 in vs:
        for t in [v1, v1.norm()]:
            pprint(t)
            print()
        for v2 in vs:
            pprint(v1.dot(v2))
            print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
1.
(a)
⎡√6  √6  √6   ⎤
⎢──  ──  ──  0⎥
⎣6   3   6    ⎦

1

1

0

⎡-√39   -2⋅√39   5⋅√39  √39⎤
⎢─────  ───────  ─────  ───⎥
⎣  39      39      39    13⎦

1

0

1

(b)
⎡√2  √2      ⎤
⎢──  ──  0  0⎥
⎣2   2       ⎦

1

1

0

0

[1/2  -1/2  1/2  1/2]

1

0

1

0

⎡-√2   √2  √2  √2⎤
⎢────  ──  ──  ──⎥
⎣ 3    3   2   6 ⎦

1

0

0

1

$