数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 正値スカラー積(複素数、エルミート積、共役、3次元、部分空間、正規直交基底)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題6-(a)、(b).を取り組んでみる。

6. 
   
   1. 
      

      直交基底。

      $\begin{array}{}\left(1,1,1\right)\\ \left(1,i,0\right)-\frac{\left(1,i,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,1\right)}{\left(1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,1\right)}\left(1,1,1\right)\\ =\left(1,i,0\right)-\frac{1+i}{3}\left(1,1,1\right)\\ =\frac{1}{3}\left(2-i,-1+2i,-1-i\right)\end{array}$

      正規直交基底。

      $\begin{array}{}\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,1,1\right)\\ \frac{\left(2-i,-1+2i,-1-i\right)}{\sqrt{4+1+1+4+1+1}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(2-i,-1+2i,-1-i\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\left(1,-1,-i\right)\\ \left(i,1,2\right)-\frac{\left(i,1,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,i\right)}{1+1+1}\left(1,-1,-i\right)\\ =\left(i,1,2\right)-\frac{-1+3i}{3}\left(1,-1,-i\right)\\ =\frac{1}{3}\left(1,2+3i,3-i\right)\end{array}$

      正規直交基底。

      $\begin{array}{}\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,-1,-i\right)\\ \frac{1}{\sqrt{1+4+9+9+1}}\left(1,2+3i,3-i\right)\\ =\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(1,2+3i,3-i\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sqrt, I

print('6.')


def hermitian_product(a, b):
    return a.dot(b.H).simplify()


m = [(1 / sqrt(3) * Matrix([[1, 1, 1]]),
      1 / (2 * sqrt(3)) * Matrix([[2 - I, - 1 + 2 * I, -1 - I]])),
     (1 / sqrt(3) * Matrix([[1, -1, -I]]),
      1 / (2 * sqrt(6)) * Matrix([[1, 2 + 3 * I, 3 - I]]))]

for i, (v, w) in enumerate(m):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [v, w, hermitian_product(v, w)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
6.
(a)
⎡√3  √3  √3⎤
⎢──  ──  ──⎥
⎣3   3   3 ⎦

⎡√3⋅(2 - ⅈ)  √3⋅(-1 + 2⋅ⅈ)  √3⋅(-1 - ⅈ)⎤
⎢──────────  ─────────────  ───────────⎥
⎣    6             6             6     ⎦

0


(b)
⎡√3  -√3   -√3⋅ⅈ ⎤
⎢──  ────  ──────⎥
⎣3    3      3   ⎦

⎡√6  √6⋅(2 + 3⋅ⅈ)  √6⋅(3 - ⅈ)⎤
⎢──  ────────────  ──────────⎥
⎣12       12           12    ⎦

0


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